VOLUMEN 34, NÚMERO 1 | ENERO-JUNIO 2022 | PP. 75-83
ISSN: 2250-6101
DOI: https://doi.org/10.55767/2451.6007.v34.n1.37941
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REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 75
Teorema de Noether: del contenido a
la forma. Ensayo sobre la aplicación de
una teoría semiótica cognitiva de
aprendizaje a una propuesta didáctica
Noether's theorem: from content to form. Essay on
the application of a cognitive semiotic theory of
learning to a didactic proposal
Rafael González 1* y Tomás Orlando Michi 1
1Instituto de Desarrollo Humano, Universidad Nacional de General Sarmiento, Juan María Gutiérrez 1150, Los Polvo-
rines, CP 1613, Pcia de Bs. As. Argentina.
*E-mail: rgonzale@campus.ungs.edu.ar
Recibido el 13 de marzo de 2022 | Aceptado el 19 de mayo de 2022
Resumen
En este trabajo se plantea una metodología novedosa, basada en la teoría semiótica-cognitiva del aprendizaje (González, 2018), para
abordar temas de Mecánica lagrangiana. En el contexto de esta asignatura, correspondiente al nivel superior de profesorados de Física
y de licenciaturas en Física, se ejemplifica la metodología mencionada a través del abordaje del conocido teorema de Noether, el cual
vincula la simetría de las configuraciones mecánicas con las correspondientes integrales primeras de movimiento. En lugar de la forma
clásica de presentar el teorema (mediante el enunciado, la demostración y la ejemplificación), en este caso se parte de un cuadro de
propiedades (entre ellas simetrías y conservaciones de distintas configuraciones específicas) y se solicita al estudiante que las relacio-
nes de manera hipotética. Luego se propone construir una expresión formal con base en las ecuaciones de Lagrange, mediante un
procedimiento recursivo del que se extrae la demostración del teorema como un esquema conceptual. Finalmente se aplicará este
teorema en forma genérica, desprendida de las configuraciones específicas previas. Cabe aclarar que, si bien se ejemplifica con un
tema de Mecánica lagrangiana, el método es aplicable de forma general, adecuándola a la materia y tema correspondientes.
Palabras clave: Teoría semiótico-cognitiva de aprendizaje; Mecánica lagrangiana; Teorema de Noether.
Abstract
This paper proposes a novel methodology, based on the semiotic-cognitive theory of learning (González, 2018), to address issues of
lagrangian mechanics, a subject of the higher level of physics professors and Physics undergraduates, exemplified in Noether's theo-
rem, which links the symmetry of mechanical configurations, with the corresponding first integrals of motion. Instead of the classical
way of presenting the theorem, by means of a statement, demonstration and exemplification, we start with a table of properties
(including symmetries and conservation of different specific configurations) which the student is asked to relate hypothetically, and
then construct a formal expression based on the Lagrange equations, by means of a recursive procedure from which the proof of the
theorem is extracted as a conceptual scheme, which will finally be applied in a generic form, detached from the previous specific
configurations. Although it is exemplified with a subject of lagrangian mechanics, the method is applicable in a general way, adapting
it to the corresponding subject and topic.
Keywords: Semiotic-cognitive theory of learning; lagrangian mechanics; Noether's theorem.
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I. INTRODUCCIÓN
La enseñanza de la Física en el nivel terciario contiene materias que se organizan, en muchos casos, mediante espacios
de teóricas, prácticas y actividad experimental. En las clases teóricas es común la utilización de enfoques que tienen
cierta connotación axiomática muy similar a clases de matemáticas en las que los conceptos se van desarrollando
mediante teoremas. Estos teoremas, en realidad, constituyen el punto de llegada de una construcción previa, que
simplemente es presentada a los estudiantes, pretendiendo que el simple encadenamiento lógico desde el enunciado
hasta el fin de la demostración, será suficiente para la comprensión y elaboración conceptual. Esto suele tener al
menos dos consecuencias no deseables. Por un lado, se omite un proceso de construcción progresiva de simbolización,
que es en realidad el que se sigue para producir un sistema. Por otro lado, muchos estudiantes no logran realizar dicho
proceso y por lo tanto conceptualizar, produciéndose así una desconexión entre las clases teóricas, prácticas y de
laboratorio, lo que impide una integración conceptual entre estas instancias.
Esta situación cobra aún más relevancia en materias del ciclo superior con neto sesgo teórico como es el caso de
Mecánica lagrangiana, que suele ser la primera materia de este tipo y constituye un verdadero salto cualitativo para
el estudiante o hasta una traba para la continuidad de su carrera. Justamente uno de los temas conceptualmente más
ricos e importantes de esta materia lo constituye el teorema de Noether (Vucetich, 2007), el cual establece, mediante
la formulación lagrangiana, una vinculación entre las simetrías de una configuración con las constantes de movimiento
correspondientes. Por ejemplo, dada una configuración mecánica (sistema mecánico específico) con simetría de tras-
lación en un espacio homogéneo, el teorema de Noether demuestra, mediante la lagrangiana del sistema, que la
aplicación de una traslación infinitesimal del sistema, conserva el impulso lineal del mismo.
La idea es, entonces, plantear, con base en el marco teórico de la próxima sección, un camino constructivo del
teorema de Noether inverso al modelo axiomático clásico, que permita una simbolización progresiva y sólida de los
diferentes conceptos involucrados. Forma de construcción que, de acuerdo con el método planteado, pueda abs-
traerse como un esquema conceptual susceptible de aplicación a cualquier otro tema, de cualquier materia del tra-
yecto pedagógico. Una aclaración importante es que la metodología se plantea como un ensayo de aplicación de una
teoría semiótica cognitiva de aprendizaje a una propuesta didáctica. Que en este caso se trate el teorema de Noether
no obsta que la aplicación pueda hacerse a otros temas.
Se desarrollan, de manera simultánea a la aplicación, conceptos nuevos de la teoría. En este artículo se introducen
por primera vez los conceptos de coforma (forma ligada al contenido), generalización de contenido-forma y generali-
zación de forma. El ensayo se basó en una experiencia de implementación parcial de la propuesta didáctica mediante
clases virtuales durante la pandemia y por lo tanto no sistemática y con elementos insuficientes para una evaluación.
Sin embargo, sí fue útil para completar las ideas del ensayo e introducir nuevos elementos teóricos.
Una implementación sistemática de la propuesta didáctica y evaluación de sus resultados queda pendiente para
cuando las condiciones la posibiliten en condiciones de presencialidad o bimodalidad.
II. MARCO TEÓRICO
El método presentado se basa en la teoría semiótica cognitiva del aprendizaje (TSCA) (González, 2012, 2018). Aquí
puntualizamos algunos aspectos y desarrollamos otros. Esta concepción toma, en primer lugar, los desarrollos de Gar-
cía (2000, 2006), Piaget (2002), Piaget y García (1984) según los cuales los conocimientos se construyen con base en
una tríada dialéctica, es decir, tres etapas solidariamente vinculadas, basadas en los atributos de un objeto conceptual,
en las relaciones generadas por dichos atributos y en las estructuras en que se organizan estas relaciones y que por
ello la denominamos también organización.
Pero luego se toma nota de que, para ser significativo, un concepto debe transformarse en un signo: algo, para
alguien (interpretante), en alguna relación (representamen), por algo (fundamento) (Peirce, 1974; Magariños de Mo-
rentin, 2008; Marafioti, 2002; Vitale, 2002). Y por lo tanto de acuerdo con la clasificación de Peirce (1974) estos son o
un ícono o un índice o un símbolo, cada uno, a su vez, por su propia definición, formando una triada con otros dos
signos. De acuerdo con el enfoque de las tríadas dialécticas (García, 2000; Piaget-García, 1984) el pasaje de una etapa
a otra se realiza mediante generalizaciones (y estas a su vez mediante abstracciones) clasificadas como inductivas o
completivas, que a su vez tienen aspectos proactivos y retroductivos, lo que permite tener pasajes hacia adelante y
hacia atrás entre etapas. Sin embargo, queda implícito y no debidamente enfatizado, que las mismas dependen de lo
que Vygotsky (1995) define como grado de generalidad, que, cualitativamente, indica una ubicación en una recta de
generalidad que va en la dirección concreto
→
abstracto, desde la cual, un concepto es construido. Por lo tanto, una
generalización y por lo tanto una abstracción consiste en una operación que incrementa el grado de generalidad como
aspecto central y luego se clasifica su tipo en relación con su ubicación en la tríada dialéctica. Desde el punto de vista
semiótico, el tránsito por la tríada es un proceso dinámico de simbolización.
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Dado un grado de generalidad, la TSCA plantea que las tríadas dialécticas introducidas por Piaget y García (1984)
son las mismas que las que definen el sistema de signos de Peirce. Y que la retroducción es la operación de inferencia
abductiva introducida por Peirce (1974). Esta postulación permite establecer una correspondencia entre ambas con-
cepciones, lo que incluye las formas e inferencia. La correspondencia planteada es: atributos
→
íconos (caso), rela-
ciones
→
índices (resultado), estructura
→
símbolos (regla).
Por otro lado, la primera etapa, icónica, contiene elementos que serán considerados como contenidos con propie-
dades que resultan de generalizaciones de relaciones entre elementos constitutivos de etapas previas. La TSCA sos-
tiene la idea de que el aprendizaje parte de un resultado, que es un evento que se le presenta al sujeto como una
configuración específica constituida por elementos del contenido, y que genera un problema, planteo o preguntas que
podrían resolverse descubriendo relaciones posibles entre los atributos de los elementos del contenido. A partir del
resultado (justamente específico, único, realmente existente, y por eso índice), considerado como un caso, se enfoca
retroductivamente en los atributos de los elementos, construyendo relaciones que lo expliquen. Se infiere qué caso
podría corresponder al resultado a partir de la relación hipotetizada. Esto ocurre en la segunda etapa, que por eso
será indicial y ligada al contenido. Esta relación así construida, constituye una primera generalización.
Por ejemplo, si se estuviera conceptualizando la conservación del impulso lineal y la energía en un choque de
cuerpos, un resultado puede ser un choque específico de bolas de billar, un experimento de choque de cuerpos pla-
nificado en el laboratorio o un problema de choque con datos específicos. En dicho resultado, los elementos son los
cuerpos con las características que los definen (elásticos o rígidos, su forma y tamaño), la superficie en que se despla-
zan (con o sin rozamiento) y los conceptos de impulso lineal y energía se consideran propiedades de dichos cuerpos.
Por lo tanto, la conservación, se establecerá como una relación específica (para la configuración específica del resul-
tado) de entre las posibles relaciones que se intenten y puedan encontrar, entre estos atributos.
Esta relación, cuando se plantea como novedad para quien la postula, constituye un descubrimiento y tiene carác-
ter de hipótesis o abducción. En cambio, si las relaciones son ya conocidas y forman parte del interpretante del sujeto,
o fueron explicadas mediante algún ejemplo, la identificación o explicitación del caso conduce a una deducción (apli-
cación de la regla ya conocida en forma genérica al caso para obtener el resultado) o a una inducción (la regla, ya
conocida para algunos elementos, se extiende a los elementos del resultado)
En la segunda etapa, es posible producir abstracciones sucesivas y aplicar operaciones que puede realizar el sujeto
en forma deductiva para obtener alguna(s) propiedad(es) de las relaciones, pero aún vinculada(s) con elementos el
contenido. Por esto, a la forma que adquiere tal propiedad la denominamos coforma. La secuencia de operaciones
sobre las relaciones hasta llegar a la coforma puede, a su vez, abstraerse (extraerse) constituyendo un esquema con-
ceptual. Las abstracciones sucesivas y el esquema conceptual constituyen una segunda generalización denominada de
contenido-forma. La extensión del esquema conceptual a otros contenidos implica una generalización inductiva, mien-
tras que las generalizaciones que adicionan propiedades son las que Piaget y García denominaron constructiva o com-
pletiva (Piaget y García, 1984; García, 2000).
Por último, la sucesión de abstracciones aplicadas a las relaciones va desligando progresivamente a la coforma del
contenido específico hasta producir un desprendimiento total del contenido y la coforma se transforma en forma, lo
que constituye una generalización de forma. Llegamos así a la tercera fase de la tríada dialéctica.
La forma se convierte en símbolo en dos sentidos: como expresión de su grado de generalidad en el tercer nivel de
la tríada y como forma desprendida del contenido. Esta forma se organiza con otras del mismo tipo en la tercera etapa
como relaciones de relaciones, formando una estructura u organización de formas. Asimismo, los esquemas concep-
tuales de la coforma ligados, abstraídos y desprendidos del contenido, se transforman en esquemas conceptuales de
la forma, es decir, instrumentos endógenos susceptibles de ser eventualmente aplicados a otros contenidos.
III. METODOLOGÍA CONSTRUCTIVA
El teorema de Noether establece, mediante la formulación lagrangiana, una vinculación entre las simetrías de una
configuración con las constantes de movimiento correspondientes. El método constructivo supone que ambas propie-
dades son conceptos ya elaborados previamente, por lo que diremos que corresponden a una formulación prelagran-
giana. La formulación lagrangiana no hará sino expresar las conservaciones ya conocidas con una forma nueva que las
tenga como casos particulares. Pero, a su vez, posibilitará encontrar nuevas conservaciones, con lo cual estará gene-
rando nuevo contenido.
Por ello, la primera tarea de un camino constructivo del teorema de Noether será trabajar los conceptos de sime-
tría, esencialmente de traslación (homogeneidad del espacio), rotación (isotropía del espacio) y temporal, a lo cual se
dedica una actividad completa. Por otro lado, en la práctica de repaso de la formulación prelagrangiana, se deben
rever (relaborar) los teoremas de conservación.
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La metodología constructiva de un concepto dado supone, en el marco de la TSCA, una construcción que va del
contenido a la forma, como ya fue señalado. A su vez, y por eso mismo, supone una construcción conceptual en etapas,
cuyas ubicaciones en el programa de una materia debe concordar con la introducción de los conceptos subordinados,
en la red de conceptos necesarios para dicha construcción. En este caso consideramos cuatro etapas:
La etapa A de construcción de las relaciones entre simetrías y conservación, que corresponde a los contenidos con
los que se construirá el teorema, principalmente con la formulación prelagrangiana y parcialmente con la lagrangiana,
en su etapa inicial.
La etapa B en la cual con los contenidos introducidos se construyen las lagrangianas específicas, como atributos de
las configuraciones específicas y se intentan formular las relaciones trabajadas en la etapa A. Esta etapa es inmedia-
tamente posterior a la adquisición de los conceptos de lagrangiana y ecuaciones de Lagrange y puede planificarse
como parte de los ejercicios de elaboración de estos conceptos.
En la etapa C se realiza la primera generalización con la que se considera en forma genérica (es decir simbólica, no
específica) a la lagrangiana, pero manteniendo las coordenadas de las configuraciones específicas, de modo que la
construcción utiliza parcialmente al contenido que, sin embargo, sigue siendo el referente de la generalización que
nos llevará a la forma y que por ello llamaremos generalización de contenido-forma. Se desarrollan las operaciones
que efectivamente construirán la coforma (forma aún ligada al contenido) y que construirán el esquema conceptual
de la generalización.
Finalmente, en la etapa D dicha coforma se desprende de toda referencia al contenido específico transformándose
en forma pura. Se produce una generalización de forma aunque siempre a partir de lo construido en la etapa C, que
se constituye así en un contenido de un grado de generalidad superior al de la configuración específica.
En la figura 1 se representa esquemáticamente la dinámica de generalizaciones ya explicadas producidas en la
tríada dialéctica.
FIGURA 1. Esquema de evolución conceptual dada por la tríada dialéctica, desde el contenido a la forma, donde GenCF significa
generalización de contenido-forma y GenF, es la generalización de forma.
A. Contenidos específicos y exploración de relaciones con la formulación prelagrangiana
En esta etapa, tanto las simetrías como las conservaciones se presentan como dos de las posibles propiedades obte-
nidas de manera teórica o experimental de algunas configuraciones específicas. Propiedades de los contenidos con los
que se construirá la forma del teorema. Dicha presentación, en esta concepción, constituye un resultado, es decir, un
conjunto de elementos (contenido) susceptible de generar relaciones entre sí a partir de sus propiedades o atributos.
Es importante que las configuraciones sean específicas pues cada una debe ser un índice (signo de la concreta
existencia material de la configuración) a partir del cual se producirán las generalizaciones.
Entre estas propiedades presentadas, algunas pueden corresponder ya a la formulación lagrangiana, cuyo conoci-
miento previo al teorema incluye la construcción de la lagrangiana y las ecuaciones de Lagrange.
La presentación del resultado puede organizarse, por ejemplo, mediante una tabla en la que figuren al inicio de las
filas las configuraciones específicas, cuyas propiedades, cada una encabezando una columna, deben obtener los estu-
diantes mediante recursos de la formulación prelagrangiana o de la F. L. según corresponda. Esta forma de organiza-
ción facilita el establecimiento de relaciones entre propiedades y, en especial, entre simetrías y conservaciones. Y por
ello, el resultado así presentado abre la posibilidad de descubrir las relaciones entre simetrías y conservaciones, esta-
bleciéndose como hipótesis, implícita o explícita, en lugar de recibirlas como enunciado de un teorema.
Tomando como referencias a las figuras 2 y 3 presentamos un formato de tabla que en la primera columna lista
cuatro configuraciones específicas en cuatro filas, y en las cuatro columnas restantes se listan posibles propiedades
como potencial, simetrías, vínculos y conservaciones (el estudiante puede agregar columnas con nuevas propiedades
si lo considera pertinente). La tabla debe ser llenada por los estudiantes en dos etapas: primero una individual y luego
mediante una discusión colectiva.
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FIGURA 2. Cuenta de masa m engarzada en una varilla con un extremo fijo en el punto o que se mueve sobre la superficie externa
de un cono. Esta configuración específica es contenido, dos de cuyas propiedades son la simetría de rotación y la conservación de Lz
relacionadas por el teorema de Noether.
FIGURA 3. Cuenta de masa m engarzada en una varilla con un extremo fijo en el punto o que se mueve en un plano vertical. Esta
figura representa a las configuraciones de las filas 2 y 4 de la tabla 1, donde se indican las propiedades de simetría y de conservación
relacionadas por el teorema de Noether.
En la tabla I colocamos lo que se esperaría que respondan, que no es necesariamente lo que responderán. En la
tabla deben colocarse solo las propiedades que consideren que se cumplan, de otra forma los espacios quedan vacíos.
TABLA I. Configuraciones específicas (primera columna) con algunas de sus propiedades (columnas 2 a 5).
Configuración
Potenciales
Simetrías
Vínculos (ecuaciones y fuerzas)
Conservaciones
1-Fig. 2 con 2 gl ( )
2-Fig. 3 con 2 gl (r) o (x,z)
según la relación que se quiera establecer
3-Fig. 3 con1gl (r) y con
4-Fig. 3 con 2 gl y con
Donde es una simetría de rotación según el ángulo ; una simetría de traslación según la coordenada carte-
siana ; es una simetría temporal. Mientras que y significan, componente del momento angular o lineal y
es la energía mecánica. Este es un ejemplo de una elección posible de configuraciones, lo importante es que sean
configuraciones específicas, con propiedades específicas, entendiendo por esto como el punto de partida de sucesivas
generalizaciones basadas en ellas. Las propiedades de la tabla son, a su vez, resultados, ya que son casos particulares
de generalizaciones previas (como los teoremas de conservación de la formulación prelagrangiana) aplicadas a estas
configuraciones específicas que expresan, por ejemplo, relaciones entre fuerza resultante y conservación de momento
lineal o torque resultante y conservación de momento angular.
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B. Reconstrucción mediante la formulación lagrangiana de las relaciones obtenidas previamente
Logrado el establecimiento de relaciones entre las simetrías y las conservaciones correspondientes ,
estamos en condiciones de formularnos la siguiente pregunta: ¿cómo expresar estas relaciones entre simetrías y con-
servaciones mediante la formulación lagrangiana?
En la tabla, las simetrías consideradas corresponden a coordenadas cíclicas, es decir la simetría referida a una sola
coordenada y no a una combinación de ellas, lo que facilita la construcción progresiva de la forma. Y les proponemos
trabajar solo con las simetrías espaciales, dejando para una elaboración posterior la simetría temporal.
Inicialmente dejamos trabajando a los estudiantes en la construcción de la lagrangiana de cada configuración y la
utilización de las ecuaciones de Lagrange con el propósito de responder la pregunta formulada. La idea es lograr que
deduzcan que las coordenadas asociadas a las simetrías de traslación y rotación son cíclicas y lleguen a las conserva-
ciones correspondientes.
Este es el primer nivel de generalización formal, en el cual trabajamos con las lagrangianas específicas de las con-
figuraciones de la tabla, que luego caracterizaremos.
Luego se formula una nueva pregunta acerca de cómo encontrar la conservación correspondiente a una simetría
combinada de rotación y traslación como la helicoidal en la que las variables no son cíclicas, entonces la deducción no
es tan directa ni sencilla e introduce la necesidad de un teorema de Noether.
C. Generalización de contenido-forma: coforma
Es un segundo nivel de generalización formal. En primer lugar, se realiza un salto en el grado de generalidad en relación
con las configuraciones específicas de la tabla. Se produce una abstracción de la forma de la lagrangiana considerán-
dola simbólicamente. La configuración ya no es la específica de la tabla, sino una más general que la tenga como caso
particular. Consideramos una lagrangiana genérica pero que tenga la misma simetría, los mismos grados de libertad y
las mismas coordenadas que la configuración específica, sin considerar a priori que alguna de las la coordenadas aso-
ciadas a la simetría sea cíclica.
Por ejemplo, en relación con la figura 3, la configuración presenta simetría de traslación según , por lo que toma-
mos una lagrangiana simbólica de la forma ). Por su parte, la configuración correspondiente a la figura 2
presenta una simetría de rotación según y tomamos, en este caso, una lagrangiana simbólica
. Sin
embargo, no se asume a priori que o sean cíclicas. En este caso la definición de simetría consiste en la existencia
de una transformación infinitesimal de coordenadas que deje invariante a la lagrangiana, es decir, que cumpla que
=0.
Justamente estamos trabajando con referencia a un contenido del que, mediante un proceso de generalización,
parte de su especificidad se va simbolizando. Es decir, parte del contenido se va perdiendo y transformando en forma
(cuando el contenido de referencia se desprendió totalmente de la forma), pero al coexistir ambos, parte del contenido
y forma en construcción, será una generalización que denominaremos de contenido-forma.
En segundo lugar, para encontrar la relación necesaria entre simetría y conservación, desarrollamos operaciones
con el mismo nivel o grado de generalidad: primero establecer la operación de simetría que deja invariante a la la-
grangiana lo que es asumido como hipótesis. Segundo un desarrollo en serie de Taylor en las coordenadas y velocida-
des generalizadas que utilice la simetría. Tercero, las ecuaciones de Lagrange que son las que contienen la dinámica y
nos llevan a la conservación correspondiente. Veamos esto para cada simetría.
C.1. Simetría de traslación
1. Consideramos primero la simetría de traslación, que tiene como referencias a las configuraciones 2 y 4 de la tabla
1, pero con una lagrangiana genérica y producimos la transformación infinitesimal constante y arbitraria
para la cual
y entonces y , que implican que
2. Ahora realizamos un desarrollo en serie de Taylor, tomando como dato la invariancia de la lagrangiana ante la
traslación:
(1)
3. Y utilizamos la ecuación de Lagrange
(2)
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De la ecuación 1 podríamos haber concluido que
y luego usar la ecuación de Lagrange correspondiente
para llegar al mismo resultado de la ecuación 2, pero la idea de hacerlo así en este segundo nivel de generalización es
abstraer la secuencia de las operaciones, lo que constituirá un esquema conceptual de operaciones que, junto a la
abstracción de la lagrangiana, constituye la generalización de contenido-forma. A la conservación que es la derivación
de esta generalización la denominamos coforma:
(3)
Esquema conceptual:
Simetría S
→
Expansión en serie ES
→
Ecuaciones de Lagrange EL
→
Conservación C
De esta manera, se probó que
y que no depende de una lagrangiana particular, sino solo la propie-
dad de simetría de traslación según que se asume como propiedad de la configuración a la cual corresponde dicha
, con lo cual se produce la generalización:
Generalización de contenido-forma: abstracción de contenido específico + esquema conceptual de operaciones
C. 2. Simetría de rotación
Podemos repetir los mismos pasos para la simetría de rotación cuyo referente de contenido es la configuración 1 de
la tabla de propiedades, con solo hacer el reemplazo en el punto i-
(4)
En ambos casos tenemos el mismo esquema conceptual y de generalización: partiendo de la configuración espe-
cífica se hace una abstracción simbólica de la lagrangiana, pero preservando las coordenadas y grados de libertad.
Luego se aplican las operaciones que nos lleven a la construcción de la coforma, en este caso la conservación relacio-
nada con la simetría. Obtenida esta, la generalización de contenido específico más el esquema conceptual de opera-
ciones, constituye una generalización de contenido-forma y el estadio de construcción de la forma es una coforma.
C.3. Simetría helicoidal
Justamente, la pregunta acerca de cómo obtener la constante de movimiento para una simetría helicoidal al final de
la etapa B implica aplicar el esquema conceptual de operaciones ya obtenido en los casos anteriores, planteando la
simetría correspondiente al potencial con dependencia lo que resulta en la siguiente secuencia:
=
=
(5)
Como se ve, se vuelve sencillo aplicar el esquema conceptual, pues solo basta extenderlo a las dos variables res-
petando la operación correspondiente a la simetría helicoidal. Es decir, fue la aplicación de una generalización induc-
tiva a las variables cuyas coordenadas siguen siendo específicas y corresponden a las configuraciones de la tabla
aunque, al ser simbólica la lagrangiana, está parcialmente desprendida de la configuración como contenido.
D. Generalización de forma: la forma
Para que el desprendimiento del contenido sea completo y la forma sea pura es necesario abstraer ahora tanto las
coordenadas que remitían a las configuraciones específicas, como los grados de libertad. Asimismo, se pueden gene-
ralizar también las formas de las simetrías haciéndolas depender de las coordenadas.
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Esta constituye una generalización de forma que tiene como referente indicial a la coforma de la etapa C y como
forma a la expresión final del teorema de Noether, lo que conforma una díada dialéctica. Se aplica el esquema con-
ceptual previo a las coordenadas generalizadas abstraídas que cumplen las propiedades de simetría
,
,
=
=
=
(6)
donde puede depender de las coordenadas generalizadas.
Finalmente, como toda generalización, se obtiene con ella algún caso particular, por ejemplo, la conservación vin-
culada a la simetría helicoidal haciendo . Entonces, aplicando la ecuación 6, obtene-
mos la conservación (ec. 5).
Se puede proponer a los estudiantes desarrollar esta generalización de forma utilizando los esquemas construidos
en las tapas previas. Pero siempre la aplicación al caso particular es necesaria para cerrar el ciclo de generalización.
IV. CONCLUSIONES
El desarrollo desplegado se basa en la evidencia de la práctica de la actividad de enseñanza-aprendizaje de que todo
nuevo conocimiento se construye con una orientación que va del contenido a la forma. O lo que es equivalente en la
dirección de una simbolización creciente. Esto significa, de acuerdo al marco teórico introducido, que se produce un
proceso de generalización que es necesario caracterizar.
En TSCA proponemos un proceso que parte de un resultado y que por retroducción enfoca en los atributos del
contenido. A partir de estos, se hipotetizan relaciones que expliquen el resultado y que correspondan a un caso, es
decir a una configuración particular de elementos del contenido, cuyos atributos generan las relaciones. En esta situa-
ción el caso se considera una inferencia basada en el resultado y en la relación a la que se suele denominar regla y a
tal inferencia se la define como abducción (Peirce, 1974; Magariños de Morentin, 2008; Marafioti, 2002). Luego las
relaciones se irán abstrayendo y generalizando para generar las formas. Las generalizaciones son de dos tipos: de
contenido-forma generando la coforma y de forma.
La generalización de contenido-forma: tomando como referente el contenido específico (en todo o en parte) se
producen abstracciones del mismo, así como una secuencia de transformaciones de las relaciones encontradas. De tal
secuencia se abstrae un esquema de operaciones que lleva a la coforma.
La generalización de forma: cuando la repetición del procedimiento anterior pierde por completo la referencia al
contenido, es decir se desprende del contenido la coforma y se transforma en forma.
Aquí se presenta un punto que es clave para la planificación de la enseñanza: el grado de generalidad. Este aspecto
introducido por Vygotsky (1995) y que no es tomado en cuenta desde los enfoques teóricos (sí en la actividad práctica
en la que le docente debe verificar el avance del aprendizaje) permite controlar la pérdida de referencialidad del con-
tenido específico en un proceso de generalización progresivo que se adecue a las posibilidades de elaboración de dife-
rentes estudiantes. Así, en nuestro ejemplo de desarrollo del teorema de Noether hemos tomado inicialmente
configuraciones específicas con simetría de traslación y en forma separada con simetría de rotación, con el objeto de
hacer las abstracciones correspondientes a las variables y a las operaciones. El esquema conceptual, que es el mismo
para los dos tipos de simetría, se puede aplicar a un nuevo tipo de simetría, como por ejemplo la helicoidal, que no es
una combinación de las simetrías de rotación y de traslación, sino una simetría en la que la variable angular se relaciona
linealmente con la variable traslacional. Eso debe ser tenido debidamente en cuenta al extender dicho esquema a
ambas variables. Por otro lado, de las configuraciones específicas anteriores solo aparecen la coordenada de traslación
y la de rotación, pero con una lagrangiana genérica que resulta invariante frente a una transformación que respete la
relación helicoidal.
La aplicabilidad de las abstracciones y del esquema conceptual correspondiente a las sucesivas coformas se va
tornando casi inmediata y evidente. Pero, si así no fuera, un recurso adecuado podría ser la introducción de otras
configuraciones específicas. Estas permitirían una mayor amplitud en los grados de generalidad que llevan de dichas
configuraciones a las formas correspondientes mediante procesos progresivos de generalización.
Teorema de Noether: del contenido a la forma
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REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 83
AGRADECIMIENTOS
Agradecemos a la Universidad Nacional de General Sarmiento por su apoyo y estímulo.
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