VOLUMEN 34, NÚMERO 1 | ENERO-JUNIO 2022 | PP. 57-74
ISSN: 2250-6101
DOI: https://doi.org/10.55767/2451.6007.v34.n1.37943
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 57
Los agujeros negros y el
congelamiento del tiempo
Black holes and the freezing of time
Lorenzo M. Iparraguirre 1*
1 Facultad de Matemática, Astronomía y Física, Universidad Nacional de Córdoba, Medina Allende y Haya de la Torre.
Ciudad Universitaria, CP 5000, Córdoba, Argentina.
*E-mail: lorenzo.iparraguirre@unc.edu.ar
Recibido el 19 de agosto de 2021| Aceptado 11 de abril de 2022
Resumen
En este trabajo se exploran algunos aspectos muy curiosos y poco divulgados de la hipotética caída radial de una partícula material
en uno de estos objetos, poniéndolos al alcance de profesores de Física con los conocimientos elementales de Relatividad Especial
correspondientes su formación estándar. Para ello se presentan los conceptos necesarios, se muestra cómo operar y razonar con
ellos, y se ejemplifica con unos cálculos básicos que permiten anclar los conceptos en objetos concretos.
Palabras clave: Relatividad; Agujero negro; Geodésicas; Gravitación; Espacio-tiempo curvo.
Abstract
In this work some very curious and little divulgated aspects of the hypothetical radial fall of a material particle in one of these
objects are examined, making them available to Physics teachers with the elementary knowledge of Especial Relativity correspond-
ing to their standard training. For this the necessary concepts are presented, it is shown how to operate and reason with them, and
it is exemplified with some basic calculations that allow the concepts to be anchored in concrete objects.
Keywords: Relativity; Black hole; Geodesic; Gravitation; Curved space-time.
I. INTRODUCCIÓN
Un agujero negro (en adelante AN) se produce cuando una cierta cantidad de materia se concentra en una región
suficientemente pequeña como para que el campo gravitatorio sea tan intenso que la luz no pueda escapar del mismo.
Esta descripción, que habría sido poco menos que incomprensible hace no muchos años, ha llegado a ser moneda
corriente en todos los programas de divulgación actuales. Estos artefactos se presentan como voraces devoradores
de cuanto cuerpo celeste se interponga en su camino.
La explicación de estos fenómenos pertenece a la Teoría de la Relatividad General (en adelante RG), que es la que
determina cómo la presencia de la materia condiciona las propiedades del espacio-tiempo a través de las cuales se
manifiesta la gravitación.
Esa teoría excede mucho la formación de los profesores de Física, la cual en general alcanza hasta el manejo de los
elementos básicos de la Relatividad Especial (en adelante RE).
De manera que los profesores de Física, prácticamente están, frente a los AN, en las mismas condiciones que el
público en general. Todos entienden que son entes extremadamente masivos generadores de una increíble fuerza de
atracción gravitatoria, la cual según las creencias más difundidas es capaz de hacer que inevitablemente caiga en ellos
cualquier cuerpo que pase más o menos cerca, luego de lo cual nunca podrá salir, y tal vez encuentre algún fantástico
destino en algún universo o dimensión desconocida.
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 58
Sin embargo un profesor de Física debería tener bien en claro que un AN no puede devorar a un cuerpo con sufi-
ciente momento angular orbital, es decir, que es posible estar en órbita alrededor de estos objetos. Que si el Sol fuera
mágicamente comprimido hasta ocupar un volumen suficientemente reducido como para transformarse en un AN, el
único cambio en la Tierra sería la falta de su luz y calor, pero todo el Sistema Solar podría continuar orbitando a su
alrededor miles de millones de años sin absolutamente ninguna diferencia con la situación actual en lo que a la diná-
mica se refiere.
Prácticamente los únicos objetos que pueden ser devorados directamente por el AN son los que caen radialmente
hacia él, con muy poco o ningún momento angular orbital. Pero el simple proceso de caer radialmente hacia el agujero
negro tiene aspectos increíblemente curiosos, y es de ellos de los que vamos a ocuparnos aquí. Se verá que esto es
muy interesante para los profesores, y también ayuda a la comprensión de elementos de la RE.
II. OBJETIVOS Y DESCRIPCIÓN DEL TRABAJO
No intentaremos aquí aprender el formalismo de la RG, ni pasar revista a todas las posibilidades de los AN. Sobreen-
tenderemos (aunque haremos aportes sobre el tema) que se puede estar tan tranquilamente en órbita alrededor de
un AN, como alrededor de cualquier cuerpo “normal” de la misma masa (solamente en casos de extrema proximidad
aparecen diferencias sustanciales, que no interesan aquí).
Sí trataremos de explorar los aspectos increíblemente curiosos de una caída exactamente radial hacia un AN del
tipo más simple posible, estático y sin momento angular a su vez, conocido con AN de Schwarzschild (en reconoci-
miento a quien primero escribió algunas ecuaciones fundamentales del mismo en 1915/16).
Para ello presentaremos y revisaremos algunas nociones asociadas con los AN de Schwarzschild, con especial én-
fasis en la interpretación de sus coordenadas en el exterior.
Para apoyar las conclusiones recurriremos a desarrollar numéricamente un ejemplo en el que la masa del AN es la
del Sol, y la distancia considerada de caída hacia él es del orden del radio de la órbita terrestre, porque aunque todos
los hechos curiosos que se quiere presentar podrían verse directamente en las ecuaciones, solamente adquieren ri-
betes impresionantes al pensar en un ejemplo numérico concreto. En los apéndices se completarán cálculos intere-
santes.
III. CAMPO GRAVITATORIO Y ESPACIO-TIEMPO CURVADO POR LA MATERIA
La ley de gravitación universal expresa las fuerzas mutuas entre dos cuerpos cualesquiera de masas m1, y m2, cuyos
centros de masa están separados por una distancia d, a través de la conocida expresión:
221
d
mmG
F=
(1)
En donde F es el módulo de las dos fuerzas, que son mutuas, atractivas y orientadas en la exacta dirección entre
los centros de masa de los cuerpos, y G 6,6710−11 N·m2/kg2, es la constante de gravitación universal
Ahora nos interesa comenzar pensando en términos clásicos el caso de un cuerpo esférico de masa M situado
inmóvil en el origen de un sistema inercial de referencia, cuyo campo gravitatorio se estudia con ayuda de una partí-
cula móvil de masa m despreciable. Con la masa despreciable de esta partícula exploradora se logra que su propio
campo gravitatorio no altere el campo en estudio, y que la fuerza aplicada al cuerpo central no afecte su estado de
reposo en el origen.
Los posibles movimientos de la partícula exploradora en el campo gravitatorio central son las conocidas trayecto-
rias cónicas predichas por las leyes de Kepler/Newton. Estos movimientos son explicados por la teoría clásica en fun-
ción de la fuerza gravitatoria dada por la expresión (1), la cual, por unidad de masa de la partícula móvil define el
vector campo gravitatorio.
Pero en la RG estos movimientos se explican de una manera radicalmente distinta: se reserva el concepto de fuerza
para todas las fuerzas de la teoría clásica excepto las de origen gravitatorio. De manera que en RG nuestra partícula
de prueba estrictamente se considera libre de fuerzas, y sus movimientos posibles se explican a través de la geometría
que adopta el espacio-tiempo (en adelante E-T) en presencia del cuerpo de masa M.
En RG se considera, en efecto, que el E-T tiene cierta estructura geométrica condicionada por la presencia de la
materia, cuyo movimiento a su vez es condicionado por dicha geometría. Para tener una primera idea introductoria
de lo que esto significa es bueno pensar en lo más simple: el movimiento de partículas libres de fuerza.
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 59
Los movimientos posibles de las partículas libres de fuerzas en la teoría clásica (en la cual libres de fuerzas significa
libres de la acción gravitatoria, y además de todas las otras), son los movimientos uniformes a lo largo de trayectorias
rectilíneas (Principio de Inercia).
Pero debido a que la presencia de materia está inexorablemente unida a efectos gravitatorios, de manera que no
existen las partículas libres de influencias gravitatorias, en la RG se decide no tratar a la gravitación como a las demás
fuerzas, sino considerarla como un condicionante de la estructura del E-T. Y se reserva el nombre de fuerza a las
acciones mecánicas que derivan de interacciones de otro tipo. Es decir, para evitar confusiones, libres de fuerza, en
RG, significa libre de todas las acciones que en la teoría clásica se consideran no gravitatorias, pero no libres de accio-
nes gravitatorias.
De manera que el movimiento de las partículas libres de fuerza en RG, está condicionado por la gravitación exis-
tente, cuya influencia determinará que tenga lugar según ciertas líneas llamadas geodésicas del E-T, y no según líneas
rectas recorridas uniformemente. Esto lleva a desarrollos muy complejos que no interesan en este trabajo, pero se
puede lograr la comprensión necesaria de las nociones elementales a través del caso simple e ilustrativo de una su-
perficie esférica, como se presenta a continuación.
A. Espacios curvados, geodésicas y geometrías no euclidianas
Si hubiera seres viviendo en un mundo bidimensional, y este fuera un plano, en él podría haber coordenadas cartesia-
nas x1 y x2, y el Principio de Inercia diría que las partículas libres de fuerza se mueven uniformemente en líneas rectas,
dadas por funciones lineales x1(t) y x2(t).
Pero para seres viviendo en una superficie esférica no habría coordenadas cartesianas, y el Principio de Inercia
diría que las partículas libres de fuerza deben moverse uniformemente en trayectorias que no se desvíen hacia algún
lado, las cuales serían los círculos máximos de este mundo esférico. Éstos serían el equivalente a las líneas rectas del
mundo plano, y estarían dados por ciertas ecuaciones correspondientes. En general se llama geodésicas a estas líneas,
equivalentes en sus características a las líneas rectas de los mundos planos; considerándose planos los espacios en los
que vale la geometría euclidiana.
Porque en esta superficie esférica lo que fallaría, esencialmente, es la geometría euclidiana. En efecto, no podría
haber coordenadas cartesianas, porque cualquier intento de trazar en la vecindad de una línea “recta” (supongamos
que llamamos así a las geodésicas/círculos máximos), otra recta paralela, fracasa, ya que estas líneas irremediable-
mente se cortan cuando se prolongan suficientemente. Y en general se encontraría que fallan muchas otras cosas de
la geometría euclidiana: la suma de los ángulos interiores de un triángulo no daría 180º, el cociente entre la longitud
de una circunferencia y la distancia al centro no daría 2, etc.
Y si el radio de curvatura tiende a infinito, la superficie esférica se aplana, y se cumple en ella toda la geometría
habitual, euclidiana.
Ahora bien, es fácil entender la noción de curvatura de una superficie esférica, ente de dos dimensiones, visuali-
zándola contenida en el espacio de tres dimensiones. Pero a partir de las relaciones que se cumplen entre los elemen-
tos geométricos contenidos dentro de la misma superficie, es posible calcular su curvatura intrínsecamente, sin salir
de sus dos dimensiones.
Aunque es más difícil de imaginar, es posible definir la curvatura (y el radio de curvatura, y otros elementos aso-
ciados con la curvatura) del espacio tridimensional (o de cualquier número de dimensiones), sin necesidad de imagi-
narlo contenido en un espacio de más dimensiones. Cuando se cumple la geometría euclidiana se dice que el espacio
es plano, con curvatura nula.
Y resulta que la geometría euclidiana, que en la teoría clásica se presupone como la única posible, en RG solamente
corresponde al caso particular del E-T vacío, sin cuerpos materiales. Allí las geodésicas son líneas rectas recorridas
uniformemente. Una partícula sobre la que nadie actúe, seguiría una de estas trayectorias.
Pero en cambio, ejemplificando con un típico proyectil ideal de la enseñanza escolar, este sigue cierta trayectoria
curva aunque nadie actúe sobre él. La mecánica clásica dice que aunque no se ve fuerza alguna actuando, está ac-
tuando la gravedad terrestre, y le atribuye una fuerza correspondiente. La RG dice que no se ve fuerza actuando
porque no la hay, ya que la gravedad no se considera fuerza, y que la línea curva que sigue el proyectil es una geodésica
del E-T, el cual tiene cierta geometría condicionada por la gravedad.
B. Espacio curvado por una masa central
Comencemos con los aspectos geométricos simples de nuestro sistema en estudio: un cuerpo de masa M en el origen
(de lo que sería clásicamente un referencial inercial). En principio es fácil ver que la simetría esférica corresponde
tanto al tratamiento clásico como relativista de este caso. De manera que utilizaremos las coordenadas esféricas
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 60
habituales: r,
,
, donde las coordenadas angulares deben tener absolutamente el mismo significado y tratamiento
que en el caso clásico
2
.
Por otra parte, las líneas del espacio que conservan
y
constantes deben ser líneas rectas radiales, iguales en
ambas teorías. Pero no así la longitud entre dos puntos de una de estas líneas: la distancia entre A y B, situados sobre
la misma línea radial, puede no ser igual al valor absoluto de la diferencia rA− rB.
Es decir, en la RG se encuentra que se podría definir la coordenada radial r como el valor de la distancia al centro,
pero en ese caso la longitud de una circunferencia de radio r centrada en el origen no valdría 2r. Y si se opta por
definir el valor de la coordenada r a través de la longitud de la circunferencia recién mencionada, por la expresión
r = (longitud circunferencia) / 2, entonces ella no indicará la distancia al centro. Esto es una de las manifestaciones
del hecho de que según la RG, en presencia de la masa M el espacio debe ser curvo, no puede ser plano.
Vale aclarar que la definición: r = longitud/2 para una circunferencia centrada en el origen, es la que utilizaremos
en este trabajo. Y con esta definición de la coordenada radial, por medio de cálculos que no interesan aquí, la RG
demuestra que, si denominamos
a la distancia radial, ella está dada por la siguiente expresión (siendo c la velocidad
de la luz):
rc
MG2
1
dr
d
2
−
=
(2)
La cantidad 2GM/c2 tiene unidades de distancia, y se define con ella el llamado radio gravitatorio, rg:
2
gcMG2r =
(3)
Con esta definición la expresión (2) se transforma en:
rr1drdg
−=
(2’)
Es fácil advertir que la expresión (2’) solamente funciona para r > rg. Y en este trabajo nos conformaremos con
analizar lo que sucede sólo en esa región del universo.
Por otra parte, rg tiene una interpretación interesante. Recordemos el concepto de velocidad de escape de un
planeta, y lo apliquemos al cuerpo de masa M y radio R en un cálculo totalmente clásico. La energía cinética necesaria
de una partícula en la superficie del cuerpo, para que pueda escapar de su atracción gravitatoria, debe igualar a la
variación de la energía potencial, por lo que la velocidad de escape, ve, debe tener el valor:
RMG2v 2
e=
(4)
Comparando con la expresión (3) se ve que rg es el radio que debería tener el cuerpo de masa M para que la
velocidad de escape desde su superficie fuera la de la luz, según un cálculo totalmente clásico (sorprendentemente
esta expresión también es válida en la RG). Esto sugiere que rg es un valor muy pequeño para la cantidad de masa M,
mucho más pequeño que el radio de cualquier planeta, astro, o cuerpo celeste “normal” que tenga esa masa.
Por ejemplo para un cuerpo como nuestro planeta, MT 61024 kg, y rg 9 mm. Para el Sol, algo más grande, MS
21030 kg, rg 2964 m. Durante cierto tiempo, hasta que se entendieron bien algunas consecuencias de las ecuacio-
nes, se consideró que era imposible que algún proceso físico comprimiera la cantidad de masa M en un radio tan
pequeño como rg. Ahora este radio es un parámetro básico de los AN, que consisten en materia encerrada precisa-
mente en el interior de esta pequeña región.
Se denomina horizonte del agujero negro a las superficie esférica de radio rg, la cual separa el interior del exterior.
En el exterior, r > rg, ocurren las cosas que vamos a examinar en este trabajo.
Vemos que si estamos muy lejos del cuerpo central (r >> rg), según la expresión (2’) tendremos que d
dr, y
podremos describir con tranquilidad nuestra vecindad en el espacio con la habitual geometría euclidiana.
2
Para un punto P respecto de un origen O,
es el ángulo polar, que indica, desde 0 hasta , el ángulo que forma OP con un eje elegido como eje
polar.
es el ángulo azimutal, que indica desde 0 hasta 2, el ángulo que forma el plano determinado por P y el eje polar, con un plano de referencia
que contiene al eje polar.
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 61
Pero en la cercanía del horizonte la situación cambia radicalmente. El espacio está muy “curvado”, y no funciona
la geometría habitual. El espacio está comprimido en la dirección radial, y se comprime infinitamente justo en el radio
gravitatorio. Aunque no es de interés especial aquí, puede verse que la expresión (2’) es integrable. El integrando
diverge en rg, pero la divergencia es débil, y es posible calcular fácilmente la distancia entre dos valores dados de r
(ver ejemplos en Apéndice 1).
C. El tiempo curvado por la masa central
No solamente el espacio está curvado en la vecindad de rg. Ya sabemos por la RE que el ritmo de transcurso del tiempo
depende de la velocidad de cada observador, pero ahora, además, el tiempo transcurre a distinto ritmo en diferentes
valores de r (o sea, es influido por la mayor o menor proximidad de M).
La concepción clásica del tiempo es la del tiempo absoluto, la cual sobreentiende que hay o habría alguna manera
de conocer instantáneamente lo que ocurre en otros lugares. Ahora es necesario desprenderse de estas nociones, y
manejar con mucho más cuidado el tema del tiempo, completando la noción de que el E-T en conjunto está curvado.
Para comenzar de la manera más simple, digamos que es posible atribuir a cada punto del espacio, especificado
por los valores de r,
, y
, un valor de “coordenada temporal”, t, que va aumentando continuamente mientras trans-
curre el tiempo, como se muestra en la siguiente representación gráfica elemental, limitada a la coordenada radial
(figura 1).
FIGURA 1. Evolución en el tiempo de dos observadores situados en reposo en rA, y rB. En la jerga relativista es costumbre colocar
el tiempo en el eje de ordenadas; pero en este trabajo nos mantendremos en la usanza típica de la física clásica: tiempo en abscisas.
Si consideramos dos observadores en reposo, A, y B, la representación gráfica en la figura 2 muestra con las co-
rrespondientes rectas horizontales, que cada uno conserva el valor de su ordenada, r, para todos los sucesivos valores
de t (es decir: cada uno está en reposo), mientras la intersección de estas rectas horizontales con cualquier recta
vertical indica el mismo valor, por ejemplo t1, o por ejemplo t2, para ambos observadores (habría gráficas similares
para cada una de las coordenadas angulares, que no interesa mostrar porque consideraremos solamente movimientos
radiales, con valores constantes de
y de
).
Ahora la situación no es tan simple como en la física clásica: la noción de que el tiempo puede fluir con diferente
ritmo en los diferentes lugares nos introduce una gran complicación, y no sabemos a priori cómo debemos graduar
las líneas horizontales con los valores del tiempo. De manera que vamos a proceder de la manera más sencilla posible,
reproduciendo procedimientos que se utilizan en la RE para resguardar algunas nociones elementales.
Comencemos considerando un observador en reposo cualquiera: A. Él tiene libertad para fijar cualquier instante
como origen del tiempo, y adoptar cualquier duración como unidad. Pero por razones prácticas no tiene libertad para
cambiar la duración de su unidad a medida que transcurre el tiempo (es decir, no quiere hacer eso). De manera que
adopta algún fenómeno físico que se repite con regularidad, es decir, un reloj
3
, para graduar uniformemente su línea
del tiempo en toda su extensión.
Con su línea temporal así uniformemente graduada, él pauta la graduación de sus vecinos tanto para los r mayores
como menores (para nuestros fines siempre en la región fuera del horizonte), por medio de señales luminosas, como
se indica en la figura siguiente para el vecino B en la misma línea radial.
3
Cualquier tipo de reloj o instrumento que indique cómo marcha el tiempo de ese observador. Pero no debería ser un péndulo (que es el ícono de
reloj en que primero se piensa), porque su ritmo de oscilación es influido por la gravedad, y cuando quisiéramos comparar la marcha del tiempo en
diferentes lugares, deberíamos pensar en corregir las lecturas por este efecto, introduciendo complicaciones que no son pertinentes. De manera
que pensemos en relojes eléctricos, atómicos, de pulsera, fenómenos fisiológicos adecuados, etc.
t
r
rg
rA
rB
t1
t2
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 62
FIGURA 2. Señales luminosas con las cuales A pauta la graduación de la escala temporal de B.
En un instante cualquiera t1, A envía una señal luminosa a B, quien al recibirla en tx la refleja instantáneamente de
vuelta hacia A, quien la recibe en t2. Luego A comunica a B que debe asignar el valor tx = (t1 + t2) /2.
Repitiendo luego una vez más toda la operación, el observador B ya tendrá dos valores que le permitirán subdividir
uniformemente su escala, sincronizada, con la escala temporal de A.
Y la misma operación permite coordinar, o mejor dicho definir, cómo se asignan los valores de t a todos los obser-
vadores fuera del radio problemático rg (que son los únicos que nos interesan aquí). Vale agregar, además, que a partir
de cualquiera de los observadores en reposo en esta región puede definirse el valor de t para todos los demás (en la
misma y en diferentes líneas radiales), y lo que se obtenga será equivalente en todos los casos, ya que cualquier
definición solamente diferirá de cualquier otra en un factor constante y una elección arbitraria del origen.
Ahora bien, como se aclarará en los próximos párrafos, con este procedimiento se construye una escala temporal
que indica simultaneidad entre distintos observadores, pero no indica que el tiempo transcurra con el mismo ritmo
para todos. En el caso presentado solamente A, tendrá la escala temporal indicando cómo transcurre su tiempo. Para
B la escala estará bien construida, mostrará un transcurso uniforme del tiempo, pero con otro ritmo, como si su unidad
fuese diferente. Si A y B, poseen sendos relojes idénticos que utilizan para graduar su unidad de tiempo, la graduación
recién construida solamente será exacta para A, que es quien definió la graduación. B encontrará que la graduación
es demasiado rápida, o lenta, como corresponde a la expresión (5) que veremos enseguida.
En este punto es necesario remarcar que este procedimiento es el mismo que utiliza cualquier observador inercial
para sincronizar los relojes de su referencial en RE. Además es válido en física clásica, aunque allí es redundante, ya
que cualquier observador interpreta que es posible conocer instantáneamente lo que indica cualquier reloj de su
referencial y de cualquier referencial.
De manera que para este caso que nos interesa, la figura 3 nos muestra cómo se ha definido la variable temporal
para el referencial consistente en el conjunto de todos los observadores imaginables en reposo en todos los r > rg. Para
todos estos observadores, la escala temporal está sincronizada de modo que todos los eventos en un mismo valor de
t son simultáneos
4
.
Y la noción de la RG de que el tiempo transcurre a distinto ritmo en los diferentes lugares se concreta en la idea
de que la misma cantidad
t = t2 – t1, representa un transcurso de tiempo diferente en rA que en rB.
Específicamente la RG nos permite decir que el transcurso del tiempo en cada lugar fijo fuera del horizonte está
dado por el llamado “tiempo propio”,
(denominación que alude a que es propio de cada observador en reposo),
dado por:
r
r
1dtdg
−=
(5)
Expresión en la que vemos que infinitamente lejos del origen (o sea del cuerpo de masa M), prácticamente t es lo
mismo que
. Pero en los valores menores de r el tiempo transcurre más lentamente que lo que indica el valor de t, y
vemos que nuevamente tenemos un problema al acercarnos a rg: coloquialmente diríamos que el tiempo tiende a
congelarse allí, respecto de la variable temporal t.
Volviendo a la presentación de la graduación de la variable temporal, podemos agregar ahora (evitando profundi-
zar mucho) que A puede observar simultáneamente su reloj y (a través de un telescopio) el de B, y al hacerlo com-
prueba que, suponiendo rA < rB, la marcha del reloj de B es más rápida que la del suyo (siendo que ambos relojes son
idénticos).
4
Esto no siempre es posible. Es posible en el caso de los AN, porque la métrica de Schwarzschild lo permite.
t
r
rg
rA
rB
t1
t2
tx
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 63
Lo mismo puede corroborar B: él desde su telescopio también confirma que su reloj es más rápido que el de A. A
diferencia de lo que ocurre comparando determinaciones de tiempos entre observadores inerciales en RE, aquí el
efecto no es recíproco: el tiempo transcurre más lentamente más cerca del cuerpo masivo central, y todos los obser-
vadores concuerdan con ello.
Y vale aclarar que, además, al igual que en RE, el tiempo propio de cualquier observador móvil pasando por un
lugar dado, a su vez sería otro tiempo diferente de lo definido por (5).
IV. EL INCREÍBLE “FRENADO” DE LA LUZ
Ahora bien, el mejor mecanismo para conectar o relacionar observadores en diferentes lugares, es por medio de se-
ñales luminosas, como ahora analizaremos limitándonos a la dirección radial, tanto hacia el origen, como hacia fuera.
El postulado básico de la relatividad de que la velocidad de la luz debe ser c en cualquier condición y circunstancia,
significa, para una señal luminosa marchando en dirección radial, para un observador en reposo, que este debe regis-
trar que avanza la distancia d
en un intervalo d
de su tiempo propio, de manera tal que:
dt
dr
rr1
1
d
d
c
g
−
=
=
(6)
Como ya estamos acostumbrados, para r infinitamente grande tenemos la expresión habitual c = dr/dt, pero en
la cercanía del horizonte dr/dt es menor en valor absoluto que c, y se anula sobre el mismo.
La figura 3 muestra el viaje de dos rayos de luz lanzados radialmente desde A en t = 0, uno hacia el centro y otro
hacia fuera.
t
r
rg
rA
Luz hacia
fuera
Luz hacia el
centro
FIGURA 3. Luz emitida radialmente desde A (para r grande, la pendiente tiende a c).
El comportamiento de la luz lanzada hacia el centro resulta totalmente sorprendente: la figura muestra que se
acercará asintóticamente a rg para t→ . Y nunca lo alcanzará.
Esto parece absurdo, pero además de ser lo que dice (6), es consistente con la idea básica de que la luz no puede
escapar de un AN, ya que la marcha de la luz es reversible. Invirtiendo el sentido del tiempo en la figura 3 para el rayo
que va hacia el centro, tendríamos un rayo emergiendo como se muestra en la figura 4. Este rayo no podría emerger
si proviniera de un punto en el horizonte, pero puede hacerlo porque proviene de algún punto fuera del horizonte,
aunque muy cercano. Cuanto más cercano al horizonte sea el punto de partida, mayor es el lapso que debe transcurrir
para que el alejamiento del horizonte se haga perceptible.
t
r
rg
FIGURA 4. Invirtiendo el sentido del tiempo en la figura 3, tendríamos luz emitida radialmente hacia fuera desde un punto muy
cercano al horizonte.
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 64
De manera que por chocante que parezca, ¡se requiere que t llegue a infinito, para que la luz llegue al horizonte!
Y no solamente la luz. Cualquier partícula material lanzada radialmente hacia el centro viajará aumentando continua-
mente su velocidad, pero nunca alcanzará la velocidad de la luz. Siempre será dejada atrás por ella. Y por lo tanto
también requerirá que t llegue a infinito para llegar al horizonte. En la figura 5 se ilustra el viaje de partículas lanzadas
radialmente hacia el centro desde A.
r
t
rg
rA
Luz
a
b
FIGURA 5. Viaje radial hacia el centro de luz y partículas materiales desde A, en función de t. La caída de a comienza con velocidad
inicial nula, mientras que b es lanzada con velocidad inicial.
De manera que t debe llegar hasta el infinito para que la luz o las partículas lleguen al horizonte
5
. Y esta variable t
es el tiempo para los observadores lejanos. Esto indica que los observadores lejanos deberían esperar un tiempo infi-
nito para que un agujero negro pueda “devorar” toda la materia que los astrofísicos dicen que devora.
Debe notarse que hasta es difícil describir la situación con palabras. Es claro que dr/dt → 0 para la luz cuando r → rg,
pero, ¿cómo podemos decirlo?
Decir que la velocidad de la luz tiende a cero allí es incorrecto: la velocidad de la luz, registrada por cada observador
en cada lugar por el que esta pasa, no es dr/dt, ya que está dada por (6), y vale siempre c.
Sin embargo, la luz deja de avanzar en las coordenadas (t, r), que son las del referencial. En estas coordenadas
nunca llegará al horizonte, que está muy cerca, y al cual se acerca hasta distancias indescriptiblemente pequeñas. Y
casi exactamente las mismas consideraciones valdrían para una partícula cayendo radialmente, la cual en esa zona alcan-
zaría velocidades muy cercanas a la de la luz, pero siempre menores, cumpliendo: dr/dtpartícula < dr/dtluz → 0.
También sería incorrecto decir que la detención de estos móviles (señal luminosa o partícula), es “aparente”, por-
que el efecto no es aparente: es tan real como cualquier registro de las coordenadas r(t) de cualquier movimiento que
se describa.
Es posible preguntarse: ¿cómo es esto? ¿Hay un error? ¿Mienten los astrofísicos?
Y es muy importante tener presente que además de lo considerado hasta aquí, sí hay un efecto aparente que se
origina en lo que “puede ver” algún observador determinado. Esto tendría que ver con la posibilidad de enviar señales
luminosas (o electromagnéticas en general) a un cuerpo que cae, construido de manera de responder automática-
mente (por ejemplo reflejando la señal hacia el emisor, o por ejemplo pidiendo a un observador en reposo en ese
lugar que responda al emisor), y esperar la respuesta.
Si consideramos un instante inicial t0 en el cual parte un cuerpo lanzado radialmente hacia el centro con velocidad
v0 por un observador en reposo en r, y se considera la recepción de la respuesta a señales enviadas al cuerpo en t1, es
posible prever que para t1 próximo a t0, la respuesta llegará muy rápidamente, en t2 t1 + 2(v0/c) (t1−t0). Pero a medida
que t1 aumente, la distancia y la velocidad del cuerpo aumentarán, y aumentará la demora en recibir respuesta.
Y según el comportamiento previsto de dr/dt para luz y partícula, es claro que esta demora aumentará sin límites
cuando t1 aumente suficientemente, y decir que la demora aumentará infinitamente significa que la respuesta nunca
llegará. Vale mencionar que además se agregará el efecto de que la frecuencia de la luz disminuirá, también infinita-
mente (por efecto Doppler si es reflejada, y por efecto gravitacional si es enviada por un observador en reposo en la
zona), en el viaje hacia fuera, lo que haría imposible detectar la respuesta aún si llegara (no entraremos en más detalles
sobre este “enrojecimiento” de la luz, porque sólo agrega más razones para que no se detecte una respuesta).
Es importante entender que esta imposibilidad de ver a la partícula cruzando el horizonte, debido a la demora
infinita y al enrojecimiento infinito también, de la luz que intervendría, es un efecto aparente que no debe ser con-
fundido con la imposibilidad de cruzar el horizonte expresada por las funciones r(t).
5
Solamente estamos considerando partículas en caída radial, porque constituyen el caso más simple, que permite explorar estos aspectos intere-
santes. Es claro que el comportamiento de las partículas con momento angular puede ser mucho más rico, pero no necesariamente servir para
explorar estos aspectos. Una partícula con momento angular puede permanecer muchos miles de millones de años en órbita alrededor del AN, y
eso no es interesante aquí.
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 65
Ahora bien, hay que tener en cuenta que además de que el tiempo
de los observadores en reposo en la vecindad
del horizonte se va congelando con respecto a nuestro tiempo t de observadores más alejados, el tiempo propio de la
partícula que pasa por ese lugar cerca del horizonte con una velocidad que se acerca cada vez más a la de la luz (como
veremos pronto al hacer unos cálculos), se va congelando a su vez con respecto al
de los observadores en reposo.
De manera que tal vez no sería imposible que en el tiempo propio de la partícula que cae todo el proceso tenga una
duración finita.
V. OTRAS COORDENADAS
Veremos ahora cómo cambia el panorama si el análisis se hace función del tiempo propio T de una partícula en caída
libre. Es claro que poder hacer un análisis desde el punto de vista de una partícula en caída libre implica un cambio de
coordenadas que es competencia exclusiva de la RG, y aquí nos limitaremos a utilizar resultados tomados de Landau
y Lifshits (1973).
Consideremos un observador que es una partícula que cae libremente desde la condición inicial de estar en reposo
infinitamente lejos (r0 = , v0 = 0), es decir con un movimiento rectilíneo radial, y que en un momento dado, al pasar por
algún valor arbitrario de r, llamémoslo r1, ajusta su cronómetro en cero. Al decir: “su cronómetro”, en este lugar se quiere
decir que este indica el tiempo propio del viajero (utilizaremos T para distinguirlo de
, que es el tiempo propio de los
observadores en reposo, dado por (5)). De manera que en r1 se decide arbitrariamente el origen de T (notar que valores
iguales de T no indican eventos simultáneos en general, a diferencia de lo que ocurre con la variable t).
A continuación, gracias a resultados de la RG que utilizaremos sin demostrar, podremos decir que este movimiento
de caída libre cumple con:
cte
r
r
3
2
Tc 21
g
23 =+
(8)
Esta constante, que denominaremos X, siendo que T = 0 en r1, debe valer:
21
g
23
1
r
r
3
2
X=
(9)
Sabiendo estos resultados de la RG (que dicen cómo cae un cuerpo en el E-T del cuerpo de masa M), podemos
hacer un cambio de coordenadas (r, t) → (X, T), tal que:
a) Para cada valor r = r1, se define X según (9): X = (2/3) r13/2/rg1/2;
b) Luego, en un diagrama (X, T), se considera que T, en abscisas, es el tiempo propio de los observadores en cada
valor constante de X. Como ya se dijo, estos observadores no están en reposo en el espacio-tiempo, sino cayendo
libremente, viajando hacia los r menores en función de T como lo indica (8).
Los observadores que están en reposo son los que mantienen r constante, como se ve en la figura 6, siguiendo,
según (8), rectas con pendiente dX/dT = c.
FIGURA 6. a) Partícula cayendo radialmente. b) Partícula en reposo en rA.
T
X
r constante = rA
T
X constante = XA
(a)
(b)
T = 0
A
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 66
De esta manera, en un diagrama (X, T) encontramos, para cada X en el eje de ordenadas, que la expresión (9), nos
da el valor de r por el cual una partícula pasa en T = 0, cayendo libremente desde el infinito. La recta con dX/dT = c por
ese punto indica cómo el punto en reposo en r evoluciona en el tiempo en este diagrama. Todas las rectas paralelas a
ésa indican todas las posibles posiciones en reposo (figura 7).
La recta horizontal cruzando estas rectas oblicuas muestra cómo la partícula que cae va pasando por los diferentes
valores de r cada vez más pequeños, hasta llegar a r = 0. A eso se lo puede ver en la expresión (8), pero es mucho más
clara la forma en que la figura 7 nos muestra que la partícula viajera cruzará el horizonte en un tiempo propio finito,
sin demora alguna.
FIGURA 7. Partícula cayendo radialmente, cruzando distintos valores de r.
Es más, la figura 7 nos muestra también que la partícula continuará hasta el centro luego de cruzar el horizonte.
No estamos interesados aquí en esa parte del viaje, porque requeriría conocimientos mayores de RG. En estos diagra-
mas no aparece t. Pero puede averiguarse a partir de la siguiente expresión de la RG:
rr2
r
r
arctghr2Tctc g
g
g−
+=
(10)
Dado que el arctgh diverge
6
cuando su argumento tiende a 1, la expresión (10) muestra que t→ cuando r → rg
(que es lo mostrado en la figura 5). Este es el comportamiento de la variable t que ratifica la necesidad del observador
lejano de esperar infinitamente para que la partícula llegue al horizonte. Y la figura 7 nos muestra cómo con estas
nuevas variables se pueden analizar aspectos del movimiento que están totalmente fuera del alcance de la variable t.
Para completar nuestro análisis solamente nos falta introducir la marcha de la luz en el esquema. Nuevamente la
RG nos dice que en estas variables la luz viaja según:
g
r
r
c
dT
dX =
(11)
Esta expresión nos dice que muy lejos del horizonte el viaje de la luz mostrará líneas casi verticales en nuestra
gráfica. En la cercanía de rg esas líneas se curvarán llegando a rg con la misma pendiente c (en valor absoluto), que las
rectas de r constante (figura 8).
FIGURA 8. Luz radial hacia el centro y hacia fuera, desde A, lejos del horizonte; desde B, cerca del horizonte; desde C, en el horizonte (luz
no sale). En todos los casos la luz que cruza rg lo hace mostrando la misma pendiente, de valor absoluto c, que las rectas de r constante.
6
Esta función es un poco “molesta”, difícil de pensar. Se facilita un poco su comprensión interpretando su inversa, la tgh: si y = tgh(x), entonces x
= arctgh(y). Ahora bien: y = tgh(x) =
xx
xx
ee
ee
)xcosh(
)x(senh
−
−
+
−
=
. Se ve fácilmente que y →1, si x→. Razonando sobre la inversa: x = arctgh(y), se tiene que
x→ si y → 1.
21
g
23
1
r
r
3
2
X=
X
T
r = r1
r = 0
r = rg
r1 > r > rg
r > r1
X
T
A
B
C
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 67
Con estos elementos, en la figura 9 se puede completar el análisis que nos interesa.
FIGURA 9. El observador en reposo en r1 envía señales luminosas desde B, y recibe rápidamente la respuesta, en B’. Para las señales
enviadas desde C, la respuesta demora mucho más, y se recibe en C’. La última señal que alcanzará al cuerpo que cae, parte desde
D, y ya no se recibirá respuesta. Esta señal alcanza al cuerpo en H, cuando este llega a rg.
Es interesante notar en que hay un instante tD en el cual el observador en reposo en r1 podría enviar la última señal
luminosa que podría alcanzar al cuerpo justo al cruzar el horizonte (en H). Si bien tH es infinito, según se obtiene de
(10) para H en el horizonte (corroborando lo que hemos dicho ya varias veces), tD no es infinito y puede calcularse. Y
tomando, sobre la línea r = r1, el punto H* próximo al D, en el mismo valor de abscisa, TH, podemos obtener un valor
muy ilustrativo y fácil de calcular, aunque algo sobreestimado (figura 10).
FIGURA 10. Con poco error podemos asimilar el punto D al H*, para averiguar con facilidad el tiempo límite que posee el observador
para enviar una señal luminosa que justo sobre el horizonte alcance al cuerpo que cae.
Aplicando (10) para tH* y tA, teniendo en cuenta que ambos puntos están sobre el mismo valor r1, se obtiene: c
t
= c
T = c TH = XA – Xg:
21
g
23
g
23
1
AH rc
rr
3
2
ttt −
=−=
(12)
Y si r1 es suficientemente mayor que rg, como veremos en un ejemplo, queda simplemente XA/c, que además, como
veremos, es prácticamente lo que el cuerpo tardaría en caer hasta el centro en un cálculo newtoniano clásico!
VI. UN CÁLCULO EJEMPLIFICADOR
Nada mejor que un ejemplo numérico para dar claridad a todo lo discutido. Supongamos que el Sol fuera un AN, para
utilizar números familiares redondeándolos un poco. Es decir, consideremos la Tierra orbitando en una circunferencia
de 1,50108 km de radio, alrededor de un AN con la masa del Sol: M 21030 kg.
Es claro que el campo gravitatorio que encuentra la Tierra, así como las características de su movimiento orbital,
son exactamente los mismos si M está contenida en el radio del Sol (7105 km), o en un radio menor que rg (rg =
2GM/c2 2964 m), o en un punto geométrico.
C
X
T
A
B
B’
D
C’
H
X
T
A
TH
D
H*
H
gg r
3
2
X=
21
g
23
1
Ar
r
3
2
X=
XH* = 2 XA – Xg
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 68
La pequeñez del radio del horizonte, rg, nos dice inmediatamente que el factor (1− rg/r), que aparece en todas las
intervenciones de la RG, se mantiene igual a 1,00000 con 5 cifras significativas o más, para cualquier situación que
ocurra fuera del radio del Sol. De manera que en esta zona la RG debe producir casi exactamente lo mismo que puede
calcularse con la teoría newtoniana, con modificaciones tan leves como el famoso corrimiento del eje mayor de la
órbita de Mercurio, de 43” /siglo.
Podemos ver que pequeñas correcciones del orden de 10−3, recién se esperan para r 3000 km, que ya casi sería
el centro del Sol, pero aún es mil veces mayor que rg.
Continuando con el ejemplo, consideremos una partícula material cayendo radialmente desde el reposo en el in-
finito, e iniciamos la cuenta desde que cruza la órbita de la Tierra, r1 1,501011 m, con v1 42,2103 m/s (como
puede calcularse jugando un poco con las órbitas circulares o la conservación de la energía).
La expresión (12) nos indica que (2/3c) (r13/2) / (rg1/2) 2371133,3 s 2,37106 s 27,44 días (carece de sentido
incluir la resta en el numerador, ya que solamente corregiría microsegundos), es el lapso máximo de que se dispone,
para hacerle llegar señales a la partícula (desde un emisor en reposo en r1, desde que la partícula pasa por allí).
Es útil comparar primero con el valor obtenido con un cálculo totalmente newtoniano clásico.
Una simulación según el cálculo newtoniano (ver Apéndice 2) permite obtener que el tiempo demorado para que
la partícula llegue a rg (en un cálculo ideal con el Sol puntual), es 2371115,2 s (y luego, en 10 s más llegaría a r = 0). Y
dado que la luz demoraría (r1 – rg) /c r1/c = 500 s en llegarle desde el punto de partida en la órbita de la Tierra, el
tiempo disponible para enviarle señales sería de unos 2370615 s.
Una simulación con las fórmulas relativistas por otra parte (también Apéndice 2), permite obtener la coordenada
t para el tiempo demorado por la partícula en llegar a la inmediata vecindad del horizonte, en donde dr/dt tiende a
anularse definitivamente para mantenerse así hasta t→. Este valor de t resulta ser 2371115,3 s, igual en 7 cifras al
resultado del cálculo clásico.
De manera que queda perfectamente corroborado el cálculo (levemente sobreestimado, como habíamos pre-
visto), del tiempo límite t* según (12).
Y por otra parte también queda perfectamente claro que la casi totalidad del viaje no se distingue de lo que predice
el cálculo clásico
7
, porque además de que la curvatura del espacio se hace importante solamente en la inmediata
vecindad del horizonte, la velocidad no alcanza valores relativistas hasta esa zona: en un simple cálculo clásico de
conservación de la energía la velocidad de nuestra partícula llega a c en rg (por definición de rg), y a c/10 en r = 100rg).
VII. APARENTE, RELATIVO Y RELATIVISTA
Hemos hecho un cálculo que se limita al movimiento en caída libre exactamente radial desde el infinito. La razón para
elegir ese cálculo es que para él específicamente disponemos de las expresiones necesarias con ayuda de las coorde-
nadas (X, T), y no para otros casos. Pero las fórmulas utilizadas muestran (y los números del ejemplo lo destacan
enfáticamente), que el movimiento transcurre de manera perfectamente clásica hasta la inmediata vecindad del ho-
rizonte, que es la única parte en la cual tienen lugar los comportamientos relativistas, extraños para la descripción
clásica.
De manera que para estos comportamientos extraños que ahora vamos a interpretar, es irrelevante que el inicio
de la caída haya sido desde el infinito, o desde algún otro punto distante cualquiera.
Así, las conclusiones a que llegaremos serán igualmente válidas para cualquier caso de caída libre radial desde un
punto lejano al origen, con o sin velocidad inicial.
Lo que hemos encontrado es que el viaje es esencialmente clásico hasta tal vez 10 rg. Pero el radio del horizonte
es muy pequeño, y tanto rg como 10 rg constituyen distancias ínfimas en comparación con el viaje considerado. Y
aunque las diferencias entre la teoría clásica y la RG se pueden comenzar a notar cuando r se acerca a 100 rg, no se
hacen drásticas hasta que r es casi igual a rg.
Efectivamente, en los últimos milisegundos de un viaje de varios días (o meses), el valor absoluto de dr/dt, que
según tanto la teoría clásica como la RG, ha llegado a ser del orden de la velocidad de la luz, bruscamente, en vez de
aumentar hasta el infinito como lo indicaría la teoría clásica en esos últimos milisegundos, cae a casi cero!
En las coordenadas (t, r) la partícula viajera se detiene de manera inimaginablemente brusca - contra toda intuición
mecánica (ver figura 11.b).
7
Más números para el asombro. En el cálculo RG, el máximo valor de dr/dt es 1,155108 m/s, y se alcanza en r 8778 m 2,96 rg, en t 2371115,29
s. Allí el factor (1-rg/r) vale 0,662, de manera que la velocidad de la partícula es (1/0,662) (dr/dt) 1,744108 m/s. En el cálculo newtoniano clásico
la partícula llega a r 8778 m en t 2371115,20 s, y allí su velocidad, que es dr/dt, vale 1,741108 m/s. Luego, desde este lugar, para la RG, en unos
160 s prácticamente se anula dr/dt casi en rg, aunque la velocidad allí, que no es dr/dt, tiende a c. En el cálculo clásico la partícula demora desde
allí 27 s en llegar a rg, en donde su velocidad es c.
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 69
Y no solamente la partícula lo hace. Si hubiera luz acompañando o persiguiendo a la partícula, ella tendría exacta-
mente el mismo comportamiento allí.
Si pensamos en muchas partículas cayendo desde distintas direcciones amontonándose todas contra el horizonte
junto con la luz, sin poder avanzar y cruzarlo, tenemos una imagen casi grotesca, totalmente reñida con las leyes
mecánicas, que nos impulsa a preguntar: ¿qué fuerza puede estar deteniendo y haciendo que se aplaste toda esa
materia contra esa superficie inmaterial?
Nos sentimos impulsados a decir que la Mecánica no permite esto, y que algo como la verdadera descripción es la
que se hace con las coordenadas (T, X), en las cuales partícula y luz cruzan el horizonte sin ningún impedimento ni
demora.
Pero pensar así es un error, y una buena manera de entenderlo es a través del conocido ejemplo de los mesones
, muy utilizado a veces para entusiasmar a públicos no especialistas, presentándoles razones para creer en la realidad
de la “dilatación temporal”.
Se sabe que estos mesones se producen en la alta atmósfera como resultado de la interacción de los rayos cósmi-
cos con partículas atmosféricas. Como resultado de estas interacciones se producen muchas partículas, y entre ellas
estos mesones que parten con velocidades muy cercanas a las de la luz (del orden del 99,98 % de c), y tienen una vida
media del orden de 2,210-6 s, luego de la cual se desintegran a su vez en otras partículas. Ahora bien, la altura media
a la que se producen estos mesones es de unos 30 km, y viajando a la velocidad de la luz ellos podrían recorrer hasta
desintegrarse una distancia media de unos 600 m. Pero una gran fracción de ellos es detectada a nivel del mar, es
decir después de haber recorrido 30 km. Y dado que su velocidad no podría superar (ni alcanzar) la de la luz, ello
implica que han viajado al menos durante 10-4 s, es decir un tiempo casi 50 veces superior a lo que es la duración de
su vida media. Resultado espectacular que se suele presentar a las audiencias noveles como muestra de la “dilatación
temporal” que predice la RE para los viajeros con velocidades cercanas a c.
Y lo que nos interesa en este momento es que tenemos dos tiempos en el relato. Uno es el intervalo de tiempo
propio del viajero: 2,2 s. Es una de las propiedades características de estos muones: su vida media.
El otro es t 100 s. Es el tiempo que vive el muon en nuestro referencial de observadores terrestres. No es
indicativo de propiedades de la partícula, ya que depende de la velocidad relativa entre esta y el observador.
Pero ambos valores son igualmente reales. Ninguno es aparente. En nuestro referencial de observadores terres-
tres, el muon ha vivido realmente 100 s, y eso no contradice que en su referencial propio haya vivido los 2,2 s que
lo caracterizan.
Además de esto efectos relativistas, podría haber efectos aparentes si hubiera posibilidades de que observadores
situados en diferentes lugares vieran los procesos de creación y aniquilación (por ejemplo captando señales luminosas
que se produjeran de alguna manera en cada evento). Estos observadores, restando el instante en que lo vieron nacer,
de aquél en que lo vieron morir, atribuirían otras diferentes duraciones a la vida del muon, que serían aparentes, y
dependientes de la ubicación relativa de cada observador.
Ni en el caso del muon, ni en nuestro caso del AN estamos interesados en estos aspectos aparentes.
De manera que, volviendo al caso que nos interesa, aunque t no es la variable más adecuada para describir el
tiempo muy cerca del horizonte, no es una variable sin sentido físico: es el tiempo de los observadores lejanos, y ha
sido definido de manera de sincronizar todos los relojes estáticos del referencial que tiene en reposo al AN, de manera
que eventos que ocurren en iguales valores de t son simultáneos para todos estos observadores (estáticos).
Es decir, el observador lejano no puede ni intenta ver, pero sí puede saber que allá, en la vecindad del horizonte,
el tiempo transcurre tan lentamente en relación con la variable t, que prácticamente puede decirse que el tiempo se
ha congelado allí. La partícula y la luz prácticamente se han detenido para él, porque el tiempo del lugar por el que
están pasando prácticamente se ha congelado en relación con su tiempo. Y así puede esperar hasta el infinito el ob-
servador lejano, y la luz y la partícula viajera seguirán congeladas sin cruzar el horizonte (estamos abusando un poco
del concepto de congelar, en función de su valor representativo).
Sin embargo el astrofísico, que es un simple observador lejano más, usuario de la coordenada t, dirá que luego de
t* + r1/c ya cruzaron el horizonte; que el agujero negro ya habrá devorado esta partícula, y que por eso no podremos
comunicarnos con ella. ¿Miente el astrofísico? Para aclarar esta situación es necesario revisar un detalle que se en-
tiende mejor haciendo otro cálculo numérico.
VIII. UN ÚLTIMO DETALLE
Es ilustrativo tratar de calcular a qué distancia del horizonte está la partícula después de un
t razonable, digamos
100 s, después de comenzar la caída de dr/dt mostrada en la figura 11.b, o sea, digamos, después de estar aproxima-
damente 100 s “congelada”, según el criterio del observador lejano.
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 70
En el Apéndice 3 se muestra el cálculo, según el cual la diferencia r−rg luego de solamente 100 s de congelamiento,
es del orden de
7
10
10−
metros. Es decir, estamos ante una distancia inimaginablemente pequeña. La calculadora no
puede manejar esos números. La calculadora de bolsillo suele manejar hasta 10−100. La longitud de Planck es del orden
de 10−35 m. Y ahora estamos hablando de 10−10000000.
Son distancias que no tienen sentido físico, y su pequeñez influye porque la materia de la partícula, al agregarse a
la masa M, hace aumentar el valor de rg. Y este aumento, por pequeño que sea, fácilmente puede resultar mucho
mayor que estas distancias. Efectivamente, según la expresión (3) un incremento
M produce un incremento rg =
(M/M) rg. Así tenemos que si agregamos la masa de un electrón a la masa del Sol (supongámosla distribuida en una
capa esférica, para seguir teniendo un problema con esa simetría), vemos que el radio gravitatorio se incrementa en:
rg 0,510−60 rg 1,510−57m. Este incremento es enormemente superior a lo que le faltaba a la capa esférica de
partículas para llegar al horizonte (10−57
7
10
10−
=
?!10¿¿??10 77 105710 =
−
; cuesta manejar estos números). Es de-
cir que hace ya tiempo que la capa de partículas está dentro del horizonte: el horizonte pasó sobre ella.
De manera que, resumiendo, si se considera la masa de la partícula que se acerca al agujero negro, se tiene un
problema que globalmente no tiene simetría esférica, y debería abordarse con métodos mucho más complicados.
Pero imaginando una situación con simetría esférica, de una nube uniforme de partículas que caiga radialmente al AN,
es fácil aceptar que después de llegar a la zona en la cual el movimiento se congela, en un tiempo muy corto, en
fracciones de segundo, se tiene una capa de materia tan próxima al horizonte, que el incremento que sufre el radio de
este la deja dentro.
IX. CONCLUSIONES
Examinando el proceso de acercarse una partícula radialmente al horizonte, hemos encontrado que la mayor parte
del viaje es completamente clásico, y está desprovisto del halo de misterio que la idea de Agujero Negro por sí sola
sugiere. Sin embargo, en la inmediata proximidad hay un cambio drástico totalmente impensado: la realidad supera
a la fantasía originada en la divulgación. Ni la partícula ni la luz pueden ingresar al AN porque el tiempo se congela allí
respecto de los observadores estáticos lejanos.
Y esto no es un efecto aparente. No es correcto pensar que es un efecto de que los observadores lejanos no pueden
ver lo que sucede en la vecindad del horizonte, porque ellos sí pueden saber lo que sucede (y además vale notar que
el efecto en realidad no depende de que los observadores sean lejanos, sino de que sean estáticos).
Y no es correcto pensar que la descripción en el referencial propio de la partícula (según la cual la partícula rápi-
damente cruza el horizonte sin siquiera notarlo) es más verdadera que la de los observadores estáticos.
Y de no ser por el efecto de que la acumulación de materia cerca del horizonte expande automáticamente su radio
(justificado muy rudimentariamente con los cálculos presentados), los observadores estáticos podrían esperar hasta
el fin de sus días, sin que partícula alguna ingresara al AN.
Pero es claro que en una situación de una nube más o menos uniforme de materia cayendo radialmente hacia el
AN, se puede estimar el tiempo t a partir de que la dr/dt comienza a disminuir, necesario para que el aumento del
radio del horizonte del AN produzca el efecto de “engullir” la materia que queda dentro de su horizonte ampliado. Y
ese tiempo t es calculable, es muy breve, y permite determinar efectivamente cuándo entra la materia al horizonte
en la coordenada t.
Y finalmente los astrofísicos están en lo cierto cuando hablan de las cantidades de materia devoradas por los AN,
aunque el proceso por el cual eso ocurre tiene facetas fascinantes muy poco difundidas, que ayudan a enriquecer las
posibilidades de interpretar lo que significa la relatividad de las observaciones referidas a diferentes referenciales.
Y un último detalle: la idea de que en las coordenadas (T, X) la partícula cruza el horizonte sin inconvenientes
sugiere erróneamente que aún le resta una maravillosa vida de aventuras en su tiempo propio. Pero las expresiones
(8) y (9), muestran fácilmente que al cruzar el horizonte al viajero le quedan pocos microsegundos de vida antes de
llegar a su fin en r = 0.
REFERENCIAS
Landau & Lifshits. (1973). Colapso gravitatorio. En Teoría Clásica de los Campos. Física Teórica, Vol. 2. 2ª ed. Reverté.
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 71
APÉNDICE 1
La expresión (2’) que define la distancia radial, , es integrable:
−+−+−=
−
)rr(r
2
r
rln
2
r
)rr(r
rr1
dr g
gg
g
g
De manera que para el caso de M igual a la masa del Sol (rg 2964,4 m), a modo de ejemplo ilustrativo, para tres
puntos A, B, C, alineados radialmente, tales que A es un punto del horizonte (rA = rg), rB = rA + 1 m, y rC = rB + 1 m, puede
calcularse que las distancias entre ellos son:
B - A 108,90 m
C - B 45,11 m
Estos valores ilustran que aunque el espacio esté infinitamente comprimido contra el horizonte, la distancia desde
el horizonte a cualquier punto es finita y calculable.
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 72
APÉNDICE 2
Es interesante comparar algunas expresiones del cálculo clásico con el relativista, siempre para el movimiento radial.
La expresión de la conservación de la energía para una partícula en las condiciones de este trabajo (en presencia
de un cuerpo de masa M fijo en el origen), según la RG, puede escribirse:
−
−
−
−
=
−
−
−
−
1
gg
1
g
2
3
1
g
2
1
1
gg
g
2
3
g
2
r
r
1
r
r
1
1
r
rc
r
r
1
v
~
r
r
1
r
r
1
1
r
rc
r
r
1
v
~
(13)
En donde
v
~
significa dr/dt, lo cual para r >>rg, es simplemente la velocidad radial (y ya hemos visto que eso se
cumple en todas partes no demasiado cercanas al horizonte). El subíndice 1 indica algún valor particular, en el cual
v
~
tiene un valor conocido.
Si se tiene en cuenta que en las condiciones no muy cercanas al horizonte todos los corchetes valen casi exacta-
mente 1 (fuera del radio solar tanto rg/r, como rg/r1, son absolutamente despreciables), y se utiliza la expresión (3)
para rg, esta expresión se transforma en la clásica:
(13’)
Con cualquiera de ambas expresiones (clásica o relativista) la evolución de la función r(t) puede simularse fácil-
mente integrando numéricamente, es decir, para cada valor de r (en cada t), calcular
v
~
con (13) o (13’), luego incre-
mentar r según r = −
v
~
t con algún incremento adecuado t, y repetir iterativamente.
Lo que se obtiene es casi exactamente lo mismo para el caso clásico y el relativista hasta que se llega muy cerca
del horizonte (figura 11.a). La velocidad evoluciona muy lentamente al principio, y la iteración puede hacerse con
intervalos t muy grandes (por ejemplo, minutos) hasta r del orden de 104 rg. Allí la velocidad será muy grande (aunque
aún no relativista), y será necesario cambiar el paso de la iteración (por ejemplo, milisegundos), hasta llegar hasta r
del orden de 100 rg.
Y a partir de allí, con t del orden de s, se separarán drásticamente los comportamientos: en el cálculo clásico
v
~
→ en milisegundos, mientras la partícula llega a r = 0; mientras que en el caso relativista, también en milisegundos
dr/dt llega a un máximo y luego bruscamente decrece hasta anularse asintóticamente en r → rg (figura 11.b). Es claro
que en este caso la velocidad es muy cercana a la de la luz, y dr/dt ya no la representa.
FIGURA 11. a (izquierda) en ordenadas se muestra el valor de dr/dt, que es la velocidad en la primera parte del trayecto, tanto en
el caso clásico como en el relativista, (observar que cerca de los 2,37106 s, la velocidad llega a menos del 1 % de c, pero está
aumentando muy rápidamente). b (derecha) Unos milisegundos después, en el caso relativista, dr/dt ha llegado a casi 1,2108 m/s,
ya muy cerca del horizonte, ya no representa la velocidad, y se desploma completamente al llegar casi al horizonte.
Y por último, es interesante ver que si especializamos la expresión (13) para nuestro ejemplo (
1
v
~
= 0 para r1 → )
se obtiene:
( )
rrrr1cdtdrv
~gg
particula −==
; mientras que, según (6), para la luz:
( )
rr1cdtdr g
luz −=
. De donde
1
2
1
2
r
MG
2
v
~
r
MG
2
v
~−=−
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 73
se ve claramente que, en valor absoluto, en cada lugar siempre será
particulaluz dtdrdtdr
, aunque numéricamente
serán casi indistinguibles (como r lo es de rg). No olvidar que
dtdr
no es ni pretende ser la velocidad en esta zona.
De la velocidad (en valor absoluto) en esta zona, además sabemos que:
1) En el referencial de la partícula, en cada lugar, la luz pasa con velocidad c.
2) Para cada observador estático en cada lugar muy cerca del horizonte, la luz y la partícula pasan casi con la
misma velocidad (c la luz, y
rrc g
la partícula).
Los agujeros negros y el congelamiento del tiempo
www.revistas.unc.edu.ar/index.php/revistaEF
REVISTA DE ENSEÑANZA DE LA FÍSICA, Vol. 34, n.o 1 (2022) 74
APÉNDICE 3
Puede ser ilustrativo hacer un cálculo explícito de la cercanía de nuestra partícula al horizonte luego de estar conge-
lada una cierta cantidad t del tiempo de observadores lejanos.
Debemos utilizar la expresión (10), pero es difícil obtener de ella r(t), lo que mostraremos ahora.
( )
rr2rrarctghr2Tctc ggg −+=
(10)
En esta expresión tenemos que T es el tiempo propio del viajero para llegar al valor r que nos interesa. Como nos
interesa un valor de r extremadamente próximo a rg, y ya sabemos que la divergencia del arctgh allí es la que causa el
crecimiento infinito de t, mientras que T es una variable continua en rg, entonces podemos evaluar T en r = rg. Es decir
(ver figura 11), cT = XA – Xg XA = (2/3) (r13/rg)1/2. Es decir, que T es esencialmente el tiempo correspondiente al cálculo
clásico para que la partícula llegue al origen, como vimos, T 2,37106 s.
Por otra parte el término 2(r rg)1/2 2 rg, dividido por c, aporta unos microsegundos, es decir, una cantidad abso-
lutamente despreciable.
De manera que para un intervalo
t de tiempo considerable (es decir muy superior a micro o mili segundos) du-
rante el que la partícula permanezca congelada, podremos plantear:
( )
rrarctghr2tcTctc gg
−
Y de esta expresión se puede despejar fácilmente: (rg/r)1/2 = tgh(ct/2rg). Aquí debe notarse que el argumento de
la tgh es extremadamente grande, en cuyo caso esta función puede aproximarse según tgh(x) 1 – 2 e−2x.
Por otra parte, si r = rg + , con muy pequeño, se tendrá (rg/r)1/2 1 – /2rg. Con lo cual, finalmente, se obtiene:
( )
ggg rtcexpr4rr −−=
Con esta expresión podemos calcular, para un tiempo muy modesto, por ejemplo
t = 100 s desde que se “con-
geló” el movimiento de la partícula (milisegundos más, milisegundos menos), en nuestro ejemplo, que la partícula ha
llegado hasta una proximidad del horizonte de aproximadamente (en metros):
777 104343.0104343.010
g101012000e12000rr −−− −=
Ahora bien, la distancia real está comprimida en la coordenada r, pero eso no cambia mucho la situación. La dis-
tancia real al horizonte estaría representada, según (3), por /(1-rg/r)1/2 r1/2 1/2
7
1022.0
10 −
.
Es una distancia inconcebiblemente menor que cualquier distancia con sentido físico. Inconcebiblemente menor
que el tamaño de partículas atómicas y subatómicas. Inconcebiblemente menor que la distancia de Planck.
Pero la pregunta sobre si es posible que la materia se comprima tanto, no tiene sentido. Porque a la materia no le
sucede nada, como se ve en las coordenadas (T, X), u otras. Las tensiones tidales en todo caso tenderían a estirar
radialmente la materia, y no a comprimirla. Toda la compresión existe solamente en las coordenadas (t, r). Es un efecto
relativista, consecuencia del congelamiento del tiempo cuando se lo expresa en la coordenada t.
Si, inversamente, buscásemos el tiempo necesario para que la partícula se aproxime hasta una distancia del orden
del tamaño atómico, 10−10 m, obtendríamos del orden de 300 s. Esto sugiere que aunque no sea posible hacer
mejores cálculos con estos elementos, es posible estimar que el congelamiento existe, pero no se mantiene más que
fracciones de segundo en la variable t.
