Geometría Axiomática de la Convexidad Parte II: Axiomática de Cápsula convexa

Abstract

En la Parte I estudiamos una axiomática de segmentos, en la que definimos los convexos y estudiamos sus propiedades conjuntistas. Ello nos permitió definir la cápsula convexa para subconjuntos del espacio y demostrar algunas de sus propiedades. En esta Parte II, tomaremos como concepto primitivo el de cápsula convexa que caracterizaremos mediante cuatro axiomas independientes que resultan de propiedades de la cápsula convexa dadas en la Parte I. Los segmentos se definirán a partir de la cápsula convexa y obtendremos como teorema los tres axiomas de la axiomática de segmentos de la Parte I. De esta forma ambos sistemas axiomáticos resultarán equivalentes. Ello permitirá asegurar que toda proposición de la Parte I también puede demostrarse en el sistema axiomático de la Parte II y viceversa. En tal sentido, utilizando la axiomática de cápsula convexa, probaremos los diversos teoremas en este sistema axiomático, prescindiendo de las demostraciones hechas en la primera parte. En un Apéndice, un axioma independiente de los anteriores permitirá estudiar la separación de convexos mediante semiespacios. La numeración de los parágrafos, definiciones, proposiciones y figuras continúa la de la Parte I del trabajo.