Diversity of student-built ideas about real numbers, irrational numbers, order and density
DOI:
https://doi.org/10.33044/revem.32442Keywords:
irrational number, numerical conceptions, real numberAbstract
We present the analysis of the responses of high school and university students to four tasks that investigate how they understand what a number is in general and an irrational number, the order, the density and the supreme of an interval, in real numbers. We find a depth gradient in these ideas from (i) a view of the integers as a model of number, distancing, or insecurity in front of these aspects of R, mainly in students with less studies in mathematics. In an intermediate zone, the (ii) conception of real numbers is identified with finite decimals and an explicit discretely, mainly in secondary and high school students (iii) a view in which the real numbers are identified with the rational numbers and as infinite potentially dense. Present mainly in first-year students of scientific careers. In the other extreme (iv) mainly advanced students of Mathematics, who understand the order, density, and property of the supreme in the real numbers. We show that to encourage students to appropriate the real number, teachers must anticipate in the last years of high school and the first years of university to work on these complex notions, to facilitate the transition from school mathematics to advanced mathematics.
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References
Arcavi, A., Bruckheimer, M., y Ben-Zvi, R. (1987). History of Mathematics forteachers: the case of Irrational Numbers.For the Learning of Mathematics,7(2),18–23.
Arrigo, G., y D’Amore, B. (2004). Otros hallazgos sobre los obstáculos en la comprensión de algunos teoremas de Georg Cantor. Educación Matemática,16(2), 5–19.
Artigue, M. (1995). La enseñanza de los principios de cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos. En M. Artigue, R. Douady, L. Moreno,y P. Gómez (Eds.), Ingeniería Didáctica en Educación Matemática (p. 97-140). Iberoamérica.
Ausubel, D., Novak, J., y Henesiam, H. (1978). Educational psychology: A cognitiveview. New York, USA: Holt, Rinehart and Winston.
Behr, M., Lesh, R., Post, T., y Silver, E. (1983). Acquisition of Mathematics Conceptsand Processes. En R. Lesh y M. Landau (Eds.),Rational number concepts(p. 91-25). Academic Press.
Benzécri, J.P. (1973). L’analyse des données (Vol 2). Dunod.
Bergé, A. (2008). The completeness property of set of real numbers in the set ofreal numbers in the transition from calculus to analysis. Educational Studiesin Mathematics(67), 217–235. doi: 10.1007/s10649-007-9101-5
Bergé, A., y Sessa, C. (2003). Completitud y continuidad revisadas a través de 23 siglos. Aportes a una investigación didáctica. Revista Latinoamericana en Matemática Educativa,6(3), 163–197.
Cantor, G. (1871). Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie dertrigonometrischen Reihen .Mathematische Annalen,V, 123–132.
Cornu, B. (1983). Apprentissage de la notion de limite: Conceptions et Obstacles (TesisDoctoral no publicada). Grenoble, Francia.
Crivisqui, E. (1993). Análisis Factorial de Correspondencias. Un instrumento de investigación en ciencias sociales.. Asunción, Paraguay: Laboratorio de Informática Social de la Universidad Católica de Asunción.
Dedekind, J. W. R. (1963). Essays on the theory of numbers: I. Continuity and irrationalnumbers. II. The nature and meaning of numbers. New York, USA: Dover.
Fischbein, E., Jehiam, R., y Cohen, D. (1994). The irrational numbers and the corres-ponding epistemological obstacles (Vol. 2).
Fischbein, E., Jehiam, R., y Cohen, D. (1995). The concept of irrational numbersin high-school students and prospective teachers.Educational Studies in Mathematics(29), 29–44.
Fischbein, E., Tirosh, D., y Hess, P. (1979). The intuition of infinity. EducationalStudies in Mathematics(10), 3–40.
Freudenthal, H. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dordrecht, Holanda: D. Reidel.
Herscovics, N. (1989). Cognitive obstacles encountered in the learning of algebra.Budapest, Hungría: National Council of Teachers of Mathematics.
Juan, M. T., y Montoro, V. (2008). Concepciones de estudiantes de nivel medio sobre aspectos básicos de la noción de infinito en un contexto de conteo. Revista de Educación Matemática. Descargado de https://revistas.unc.edu.ar/index.php/REM/article/view/10443
Juan, M. T., y Montoro, V. (2015). Cuando infinito es todo [Comunicación de Reporte de Investigación]. XXVIII Reunión de Educación Matemática, Unión Matemática Argentina. Santa Fe, Rep. Argentina.
Juan, M. T., Montoro, V., y Scheuer, N. (2012). Colecciones infinitas. Ideas de estudiantes de escuelas secundarias. Educación Matemática, 24(2), 61–90.
Khoury, H. A., y Zazkis, R. (1994). On fractions and non-standard representations: Pre-service teachers’ concepts.Educational Studies in Mathematics(27), 191–204.
Lakoff, G., y Núñez, R. (2000). The Basic Metaphor of Infinity. En Where Mathematics Comes from: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being(pp. 155–180). Basic Books.
Lebart, L., Morineau, A., y Fénelon, J. (1979). Traitement de Donnés Statistiques. Dunod.
Lebart, L., Salem, A., y Bécue Bertaut, M. (2000). Análisis estadístico de textos.Milenio.
Malara, N. (2001). From fractions to rational numbers in their structure: Outlines foran innovative didactical strategy and the question of density (Vol. II). Praga, Rep.Checa.
Mayberry, J. (2001). The Foundations of Mathematics. EnTheory of Sets.Cambridge,Inglaterra: Cambridge University Press.
Merenluoto, K. (2003).Abstracting the density of numbers on the number line a quasi -experimental study.(Vol. 3). Bergen, Noruega.
Merenluoto, K., y Lehtinen, E. (2002). Conceptual change in mathematics: Un-derstanding the real numbers. En M. Limon y L. Mason (Eds.),Reconsidering conceptual change: Issues in theory and practice(pp. 233–258). Kluwer Academic Publishers.
Monaghan, J. (2001). Young People’s Ideas of Infinity. Educational Studies inMathematics(48), 239–258.
Montoro, V. (1999). La teoría de conjuntos. Una mirada histórica y epistemológica. Cuadernos Universitarios. Centro Regional Bariloche.,33(0).
Montoro, V. (2005). Al infinito y más acá: concepciones de estudiantes universitarios. Infancia y Aprendizaje, 28(4), 409–427.
Montoro, V., y Scheuer, N. (2004). ¿Cómo piensan el infinito matemático estudiantes universitarios de distintas carreras? Épsilon,60(3), 435–447.
Montoro, V., y Scheuer, N. (2006). Distintas formas de pensar el infinito(Vol. 19).
Montoro, V., Scheuer, N., y Pérez-Echeverría, M. P. (2016). ¿Cuán abundantes son los conjuntos de números? Estudiantes comparando infinitos. Educación Matemática(28), 145–174.
Moreno-Armella, L., y Waldegg, G. (1995). Variación y representación: del número al continuo. Educación Matemática,7(1), 12–28.
Moseley, B. (2005). Students’ Early Mathematical Representation Knowledge: The Efects of Emphasizing Single or Multiple Perspectives of the Rational Number Domain in Problem Solving. Educational Studies in Mathematics(60),37–69.
O’Connor, M. C. (2001). “Can any fraction be turned into a decimal?” A case study of a mathematical group discussion. Educational Studies in Mathematics(46),143–185.
Palacios-Amaya, M., Bianchi, V., y Montoro, V. (2018). Estudiantes de escuela secundaria pensando los números racionales. Revista de Educación Matemática,33(3), 5–26.
Peled, I., y Hershkovitz, S. (1999). Difficulties in knowledge integration: Revisiting Zeno’s paradox with irrational numbers. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology,30(1), 39–46.
Pozo, J. I. (2014). Psicología del Aprendizaje Humano: adquisición de conocimiento y cambio personal. España: Morata.
Pozo, J. I., y Gómez-Crespo, M. A. (1998). Aprender y enseñar ciencia. Del conocimiento cotidiano al conocimiento científico. España: Morata.
Pozo, J. I., y Scheuer, N. (1999). Las concepciones sobre el aprendizaje comoteorías implícitas. En J. Pozo y C. Monereo (Eds.),El aprendizaje estratégico(pp. 87–108). Santillana.
Reina, L., y Wilhelmi, M. R. (2017). Mimetismo ostensivo de objetos matemático. El caso de los números irracionales.
Rico, L., Castro, E., y Romero, I. (1996). The role of representation systems in the learning of numerical structures( Vol. 1). Valencia, España.
Romero, I., y Rico, L. (1999). Construcción social del concepto de número real en alumnos de secundaria: Aspectos cognitivos y actitudinales. Enseñanza de las Ciencias,17(2), 259–272.
Santinelli, R. (1999). La teoría de conjuntos. Una mirada histórica y epistemológica. Cuadernos Universitarios. Centro Regional Bariloche.,34(0).
Sfard, A. (1994). Reification as the Birth of Metaphor. The Learning of Mathematics,14(1), 44–55.
Sfard, A. (2010). A theory bite on infinity: A companion to falk. Cognition and Instruction,28(2), 210-218. Descargado de https://doi.org/10.1080/07370001003676637doi: 10.1080/07370001003676637
Sierpinska, A. (1987). Humanities students and epistemological obstacles relatedto limits . Educational Studies in Mathematics(18), 371–397.
Sierpinska, A. (1994). Understanding in Mathematics. Brigthon, Inglaterra: Falmer Press.
Sirotic, N., y Zazkis, R. (2004).Irrational numbers: dimensions of knowledge.
Sirotic, N., y Zazkis, R. (2007a). Irrational Numbers: The Gap Between Formal and Intuitive Knowlwdge. Educational Studies in Mathematics(65), 49–76.
Sirotic, N., y Zazkis, R. (2007b). Irrational numbers on the number line: where are they? International Journal of Mathematical Education in Science and Technology,38(4), 477–488.
Stafylidou, S., y Vosniadou, S. (2004). The development of students’ understanding of the numerical value of fractions. Learning and Instruction,14, 503–518.
Steiner, R. (1984). Teaching About the Real Numbers.The American Mathematical Monthly,91(3), 202–203. doi: 10.1080/00029890.1984.11971526
Steinle, V., y Pierce, R. (2006).Incomplete or incorrect understanding of decimals: an important deficit for student nurses(Vol. 5). Praga, República Checa.
Stevenson, W. S. (2000).Exploring the Real Numbers. Nueva Jersey, Estados Unidos: Prentice Hall.
Tall, D. (1991). The Psychology of Advanced Mathematical Thinking. En D. Tall(Ed.), Advanced Mathematical Thinking(Vol. 11, pp. 3–21). Kluwer Academic Publishers.
Tall, D. (2001). Natural and formal infinities. Educational Studies in Mathematics(48),200–238.
Tall, D. (2004).Thinking Through Three Worlds of Mathematics. Bergen, Noruega.
Tall, D., y Schwarzenberger, R. (1978). Conflicts in the learning of real numbers and limits. Mathematics Teaching(82), 44–49.
Tall, D., y Vinner, S. (1981). Concept Image and Concept Definition in Mathematics.With Particular Reference to Limits and Continuity. Educational Studies in Mathematics,12(2), 151–169.
Tirosh, D., Fischbein, E., Graeber, A., y Wilson, J. (1998).Prospective elementary teachers’ conceptions of rational numbers. Descargado de http://jwilson.coe.uga.edu/Texts.Folder/Tirosh/Pros.El.Tchrs.html
Vamvakoussi, X., y Vosniadou, S. (2004). Understanding the structure of the set ofrational numbers: A conceptual change approach. Learning and Instruction, 453-467.
Vamvakoussi, X., y Vosniadou, S. (2007). How many numbers are there in a rational numbers’ interval? Constraints, synthetic models and the effect of the numberline. En S. Vosniadou, A. Baltas, y X. Vamvakoussi (Eds.), Reframing the conceptual change approach in learning and instruction(pp. 265–282). Elsevier.
Vamvakoussi, X., y Vosniadou, S. (2010). How many decimals are there betweentwo fractions? Aspects of secondary school students’ understanding of rational numbers and their notation. Cognition and instruction, 181–209. doi:10.1080/07370001003676603
Verschaffel, L., Greer, B., y Torbeyns, J. (2006). Numerical thinking. En A. Gutiérrez y P. Boero (Eds.), Handbook of Research on the Psychology of Mathematics Education: Past, Present and Future(pp. 51–82). Sense Publishers.
Vinner, S. (1983). Concept definition, concept image and the notion of function. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology,14(3),293–305.
Vinner, S., y Dreyfus, T. (1989). Images and definitions for the concept of function. Journal for Research in Mathematics Education,20(4), 356–366.
Voskoglou, M., y Kosyvas, G. (2012). Analysing students’ difficulties in understanding real numbers. REDIMAT,1(3), 301–226.
Vosniadou, S. (Ed.). (2008).International handbook of research on conceptual change. Routledge.
Waldegg, G. (1993).La comparaison des ensembles infinis: un cas de résistance àl’instruction(Vol. 5).
Ward, J. (1963). Hierarchical grouping to optimize an objective function. Journal American Statistic Association(58), 236–244.
Widjaja, W., Stacey, K., y Steinle, V. (2008). Misconceptions about density of decimals: Insights from pre-service teachers’ work. Journal of Science and Mathematics Education in Southeast Asia,31(2), 117–131.
Yujing, N., y Yong-Di, Z. (2005). Teaching and learning fraction and rationalnumbers: The origins and implications of whole number bias. Educational Psychologist,40(1), 27–52.
Zazkis, R., y Sirotic, N. (2004).Making sense of irrational numbers: Focusing onrepresentation (Vol. 4). Bergen, Noruega.
Zazkis, R., y Sirotic, N. (2010). Representing and Defining Irrational Numbers: Exposing the Missing Link. CBMS Issues in Mathematics Education(16), 1–27.
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